Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) Não existe k in R tal que lim x -2 3 x^2+k x+k+3x^2+x-2= -1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe algum número real que faz com que o limite da função quando se aproxima de -2 seja igual a -1. A gente vai usar conceitos de limites e manipulação de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) se aproxima de -2 na função dada. Olhando para o denominador , podemos fatorar para simplificar a expressão. Fatorando, temos:

Passo 3

Agora, substituindo (-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 no denominador, vemos que:
Ou seja, o denominador se anula quando . Para que o limite exista, o numerador também precisa se anular nesse ponto, evitando uma forma indeterminada .

Passo 4

Vamos então substituir 3(-2)^2 + k(-2) + k + 3 = 12 - 2k + k + 3 = 15 - k no numerador 15 - k = 0 Rightarrow k = 15 :
Para que o numerador também seja zero, temos:

Passo 5

Agora que sabemos que 3x^2 + 15x + 15 + 3x^2 + x - 2 = 3x^2 + 15x + 18(x + 2)(x - 1) , vamos simplificar a função com esse valor:
3x^2 + 15x + 18 = 3(x^2 + 5x + 6) = 3(x + 2)(x + 3)
Podemos fatorar o numerador:
3(x + 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1)
Então, a função fica:
3(x + 3)x - 1
Cancelando o :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando limx to -2 3(x + 3)x - 1 = 3(-2 + 3)-2 - 1 = 3(1)-3 = -1 se aproxima de -2:
Então, com , o limite é realmente -1.

Resposta

Falso (F). Existe que faz com que o limite seja igual a -1.

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