Mostre que a equação tem uma raiz real.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar se uma função contínua cruza o eixo x em algum ponto.

Passo 2

Vamos considerar a função . Nosso objetivo é encontrar valores de onde . Primeiro, precisamos verificar o comportamento da função em alguns pontos para ver como ela varia.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função para :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função para :
Assim, .

Passo 5

Observamos que e . A função mudou de negativo para positivo quando passamos de para .

Passo 6

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero. Como é um polinômio, ela é contínua em todos os valores reais.

Passo 7

Portanto, como e , existe pelo menos um valor de entre e onde .

Resposta

A equação tem pelo menos uma raiz real entre e .

Exercícios relacionados

Seja tal que
Mostre que é contínua em .
Defina limite lateral à direita e à esquerda de uma função real e ilustre estes conceitos graficamente.
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota vertical.
Determine se o que está estabelecido é Falso ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) Não existe tal que -1 .