Mostre que a equação
tem uma raiz real.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar se uma função contínua cruza o eixo x em algum ponto.
Passo 2
Vamos considerar a função
. Nosso objetivo é encontrar valores de
onde
. Primeiro, precisamos verificar o comportamento da função em alguns pontos para ver como ela varia.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função para
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função para
:
Assim,
.
Passo 5
Observamos que
e
. A função mudou de negativo para positivo quando passamos de
para
.
Passo 6
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero. Como
é um polinômio, ela é contínua em todos os valores reais.
Passo 7
Portanto, como
e
, existe pelo menos um valor de
entre
e
onde
.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma raiz real entre
e
.
Exercícios relacionados
Seja
tal que
Mostre que
é contínua em
.
Defina limite lateral à direita e à esquerda de uma função real e ilustre estes conceitos graficamente.
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota vertical.
(a) ( )
Determine se o que está estabelecido é Falso
ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) Não existe tal que
-1 .
(a) ( ) Não existe