Determine ou estime o comprimento de onda de de Broglie associado a:
b) uma molécula de oxigênio dentro de um balão de oxigênio a uma temperatura de 300 K.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o comprimento de onda de de Broglie para uma molécula de oxigênio dentro de um balão a 300 K. Isso está ligado à matéria de mecânica quântica, especificamente sobre como partículas pequenas têm propriedades de onda. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de de Broglie, que relaciona o comprimento de onda ( ) com o momento ( ) da partícula: , onde é a constante de Planck.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber a massa da molécula de oxigênio ( m = 2 times 16 , u = 32 , u ). Uma molécula de m = 32 times 1.660539 times 10^-27 , kg approx 5.3137 times 10^-26 , kg tem duas átomos de oxigênio. A massa de um átomo de oxigênio é aproximadamente (unidades de massa atômica). Então, a massa de uma molécula de é:
Convertendo para kg (já que ):

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade média das moléculas de vrms = raiz3kTm a 300 K. Usamos a fórmula da velocidade quadrática média ( vrms = raiz3 times 1.38 times 10^-23 , J/K times 300 , K5.3137 times 10^-26 , kg ) da teoria cinética dos gases:
vrms = raiz1.242 times 10^-20 , J5.3137 times 10^-26 , kg approx raiz2.339 times 10^5 , m^2/s^2 approx 483 , m/s
Onde:
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura (300 K),
  • é a massa da molécula que calculamos.
Substituindo os valores:

Passo 4

Com a velocidade média p = m times v , podemos calcular o momento ( p = 5.3137 times 10^-26 , kg times 483 , m/s approx 2.567 times 10^-23 , kg cdot m/s ) da molécula de :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula de de Broglie para encontrar o comprimento de onda ( lambda = hp ):
lambda = 6.626 times 10^-34 , J cdot s2.567 times 10^-23 , kg cdot m/s approx 2.58 times 10^-11 , m
Onde é a constante de Planck ( ).
Substituindo os valores:

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie associado a uma molécula de oxigênio a 300 K é aproximadamente metros.

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