Na linha do problema anterior, considere uma amostra gasosa formada por átomos de sódio com densidade
(número de átomos por unidade de volume). Determine a temperatura
para a qual o comprimento de onda de de Broglie seja igual à separação média entre os átomos. Preencha a tabela abaixo (atenção com a unidade utilizada para a densidade):
|
|
---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Para que uma amostra gasosa de átomos de
ao ser resfriada permaneça gasosa é necessário que sua densidade seja muito baixa (da ordem de
átomos
), e mesmo assim, a fase gasosa pode durar bem pouco tempo (menos do que
) e então inevitavelmente os átomos acabam se agregando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a temperatura
na qual o comprimento de onda de de Broglie dos átomos de sódio é igual à distância média entre eles, dado diferentes valores de densidade
(número de átomos por unidade de volume). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o comprimento de onda de de Broglie, e relacioná-lo com a densidade da amostra gasosa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de de Broglie. Ele está relacionado à natureza ondulatória das partículas e é dado pela fórmula:
onde:
-
é o comprimento de onda de de Broglie, -
é a constante de Planck ( ), -
é o momento da partícula.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o momento
com a temperatura
. Para uma partícula em movimento térmico, o momento pode ser expresso em termos da massa
e da velocidade
:
Em teoria estatística, a velocidade média quadrática
de uma partícula é relacionada à temperatura pela seguinte relação:
onde
é a constante de Boltzmann (
). Daí, podemos isolar
:
Assumindo que a velocidade média
é da ordem de
, temos:
Logo, o momento
fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar a distância média entre os átomos. Sabemos que a densidade
, onde
é o número de átomos e
é o volume. A distância média
entre os átomos pode ser estimada como:
Queremos que o comprimento de onda de de Broglie seja igual a essa distância média:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para
:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso simplifica para:
Agora, isolamos
:
Então, temos uma expressão para
em função da densidade
.
Passo 6
Vamos substituir os valores para calcular
. Primeiro, precisamos das massas dos átomos de sódio. A massa molar do sódio é aproximadamente
, então a massa de um átomo de sódio é:
Agora, substituímos todos os valores na equação de
:
Calculando os termos constantes:
Para facilitar, expressaremos
em
. Convertendo para
:
Então:
Simplificando:
Vamos agora calcular
para cada valor de
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
|
|
---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Esses valores representam a temperatura necessária para que o comprimento de onda de de Broglie seja igual à separação média entre os átomos de sódio para cada densidade dada.
Exercícios relacionados
Determine ou estime o comprimento de onda de de Broglie associado a:
b) uma molécula de oxigênio dentro de um balão de oxigênio a uma temperatura de .
b) uma molécula de oxigênio dentro de um balão de oxigênio a uma temperatura de
considerando que a área de captação do microfone possa ser ampliada com o uso de um refletor circular com um diâmetro de
, © qual seria a nova potência captada pelo microfone neste mesmo ponto?
Um próton desloca-se com uma velocidade de
em um região na qual o campo magnético é
. Qual é a magnitude da força magnética que essa carga experimenta? (Resposta:
)
Um condutor com corrente não sofre nenhuma força magnética quando colocado de uma determinada maneira em um campo magnético uniforme. Explique.