Na linha do problema anterior, considere uma amostra gasosa formada por átomos de sódio com densidade (número de átomos por unidade de volume). Determine a temperatura para a qual o comprimento de onda de de Broglie seja igual à separação média entre os átomos. Preencha a tabela abaixo (atenção com a unidade utilizada para a densidade):
(átomos
Para que uma amostra gasosa de átomos de ao ser resfriada permaneça gasosa é necessário que sua densidade seja muito baixa (da ordem de átomos ), e mesmo assim, a fase gasosa pode durar bem pouco tempo (menos do que ) e então inevitavelmente os átomos acabam se agregando.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a temperatura na qual o comprimento de onda de de Broglie dos átomos de sódio é igual à distância média entre eles, dado diferentes valores de densidade (número de átomos por unidade de volume). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o comprimento de onda de de Broglie, e relacioná-lo com a densidade da amostra gasosa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de de Broglie. Ele está relacionado à natureza ondulatória das partículas e é dado pela fórmula:
onde:
  • é o comprimento de onda de de Broglie,
  • é a constante de Planck ( ),
  • é o momento da partícula.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o momento com a temperatura . Para uma partícula em movimento térmico, o momento pode ser expresso em termos da massa e da velocidade :
Em teoria estatística, a velocidade média quadrática de uma partícula é relacionada à temperatura pela seguinte relação:
onde é a constante de Boltzmann ( ). Daí, podemos isolar :
Assumindo que a velocidade média é da ordem de , temos:
Logo, o momento fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância média entre os átomos. Sabemos que a densidade , onde é o número de átomos e é o volume. A distância média entre os átomos pode ser estimada como:
Queremos que o comprimento de onda de de Broglie seja igual a essa distância média:
Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Vamos resolver essa equação para :
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso simplifica para:
Agora, isolamos :
Então, temos uma expressão para em função da densidade .

Passo 6

Vamos substituir os valores para calcular . Primeiro, precisamos das massas dos átomos de sódio. A massa molar do sódio é aproximadamente , então a massa de um átomo de sódio é:
á
Agora, substituímos todos os valores na equação de :
Calculando os termos constantes:
Para facilitar, expressaremos em á. Convertendo para á:
á
Então:
Simplificando:
Vamos agora calcular para cada valor de :
  1. á:
  1. á:
  1. á:
  1. á:
  1. á:
  1. á:

Resposta

(átomos
Esses valores representam a temperatura necessária para que o comprimento de onda de de Broglie seja igual à separação média entre os átomos de sódio para cada densidade dada.

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