Na linha do problema anterior, considere uma amostra gasosa formada por átomos de sódio com densidade rho=N / V (número de átomos por unidade de volume). Determine a temperatura T para a qual o comprimento de onda de de Broglie seja igual à separação média entre os átomos. Preencha a tabela abaixo (atenção com a unidade utilizada para a densidade):
rho (átomos / cm^3) T(K)
10^20
10^18
10^16
10^14
10^12
10^10
Para que uma amostra gasosa de átomos de Na ao ser resfriada permaneça gasosa é necessário que sua densidade seja muito baixa (da ordem de 10^12 átomos / cm^3 ), e mesmo assim, a fase gasosa pode durar bem pouco tempo (menos do que 1 s ) e então inevitavelmente os átomos acabam se agregando.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a temperatura na qual o comprimento de onda de de Broglie dos átomos de sódio é igual à distância média entre eles, dado diferentes valores de densidade (número de átomos por unidade de volume). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o comprimento de onda de de Broglie, e relacioná-lo com a densidade da amostra gasosa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de de Broglie. Ele está relacionado à natureza ondulatória das partículas e é dado pela fórmula:
lambda = hp
onde:
  • é o comprimento de onda de de Broglie,
  • é a constante de Planck ( ),
  • é o momento da partícula.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o momento p = m cdot v com a temperatura 12 m lang<= v^2 rang<= = 32 kB T . Para uma partícula em movimento térmico, o momento pode ser expresso em termos da massa lang<= v^2 rang<= = 3 kB Tm e da velocidade v approx raiz3 kB Tm :
p = m cdot raiz3 kB Tm = raiz3 m kB T
Em teoria estatística, a velocidade média quadrática de uma partícula é relacionada à temperatura pela seguinte relação:
onde é a constante de Boltzmann ( ). Daí, podemos isolar :
Assumindo que a velocidade média é da ordem de , temos:
Logo, o momento fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância média entre os átomos. Sabemos que a densidade l approx rho^-1/3 , onde lambda = l é o número de átomos e hraiz3 m kB T = rho^-1/3 é o volume. A distância média entre os átomos pode ser estimada como:
Queremos que o comprimento de onda de de Broglie seja igual a essa distância média:
Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Vamos resolver essa equação para (hraiz3 m kB T)^2 = rho^-2/3 :
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
h^23 m kB T = rho^-2/3
Isso simplifica para:
T = h^23 m kB rho^2/3
Agora, isolamos :
Então, temos uma expressão para em função da densidade .

Passo 6

Vamos substituir os valores para calcular m = 22,99 times 10^-3 , kg/mol6,022 times 10^23 , átomos/mol approx 3,82 times 10^-26 , kg . Primeiro, precisamos das massas dos átomos de sódio. A massa molar do sódio é aproximadamente T = (6,626 times 10^-34 , J·s)^23 times 3,82 times 10^-26 , kg times 1,381 times 10^-23 , J/K rho^2/3 , então a massa de um átomo de sódio é:
T approx 4,39 times 10^-671,58 times 10^-48 rho^2/3 approx 2,78 times 10^-19 rho^2/3 á
Agora, substituímos todos os valores na equação de rhom = rho times 10^6 , átomos/m^3 :
T approx 2,78 times 10^-19 ( rho times 10^6 )^2/3
Calculando os termos constantes:
T approx 2,78 times 10^-19 times 10^4 rho^2/3 = 2,78 times 10^-15 rho^2/3 , K
Para facilitar, expressaremos T approx 2,78 times 10^-15 times (10^20)^2/3 = 2,78 times 10^-15 times 10^13,33 approx 2,78 times 10^-15 times 2,15 times 10^13 approx 5,98 times 10^-2 , K em T approx 2,78 times 10^-15 times (10^18)^2/3 approx 2,78 times 10^-15 times 10^12 approx 2,78 times 10^-3 , K á. Convertendo para T approx 2,78 times 10^-15 times (10^16)^2/3 approx 2,78 times 10^-15 times 10^10,67 approx 2,78 times 10^-15 times 4,68 times 10^10 approx 1,30 times 10^-4 , K á:
T approx 2,78 times 10^-15 times (10^14)^2/3 approx 2,78 times 10^-15 times 10^9,33 approx 2,78 times 10^-15 times 2,15 times 10^9 approx 5,98 times 10^-6 , K á
Então:
T approx 2,78 times 10^-15 times (10^12)^2/3 approx 2,78 times 10^-15 times 10^8 approx 2,78 times 10^-7 , K
Simplificando:
T approx 2,78 times 10^-15 times (10^10)^2/3 approx 2,78 times 10^-15 times 10^6,67 approx 2,78 times 10^-15 times 4,68 times 10^6 approx 1,30 times 10^-8 , K
Vamos agora calcular para cada valor de :
  1. á:
  1. á:
  1. á:
  1. á:
  1. á:
  1. á:

Resposta

rho (átomos / cm^3) T(K)
10^20 5,98 times 10^-2
10^18 2,78 times 10^-3
10^16 1,30 times 10^-4
10^14 5,98 times 10^-6
10^12 2,78 times 10^-7
10^10 1,30 times 10^-8
Esses valores representam a temperatura necessária para que o comprimento de onda de de Broglie seja igual à separação média entre os átomos de sódio para cada densidade dada.

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