Determine um exemplo de sistema de E.D.O
para o qual
é solução para qualquer constante
não-nula.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar uma matriz
tal que
seja solução do sistema de equações diferenciais ordinárias
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre sistemas lineares de E.D.O.s e como relacionar a derivada de
com a matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Aqui, usamos a regra da derivada para funções exponenciais e observamos que a derivada de uma constante
é zero.
Passo 3
Sabemos que
. Então, substituímos
e
na equação:
Vamos chamar a matriz
de:
Multiplicando a matriz pelo vetor
:
Igualando às derivadas:
Passo 4
Para que essas igualdades sejam verdadeiras para qualquer
e qualquer constante
, devemos igualar os coeficientes correspondentes:
- Da primeira equação:
Como
, necessariamente
.
- Da segunda equação:
Novamente, como
, temos
.
Resposta
Portanto, a matriz
que satisfaz o sistema é:
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Determine a solução geral do sistema
Determine a solução geral do sistema
se
.
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas: