Determine um exemplo de sistema de E.D.O para o qual é solução para qualquer constante não-nula.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar uma matriz tal que seja solução do sistema de equações diferenciais ordinárias . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre sistemas lineares de E.D.O.s e como relacionar a derivada de com a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Aqui, usamos a regra da derivada para funções exponenciais e observamos que a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Sabemos que . Então, substituímos e na equação:
Vamos chamar a matriz de:
Multiplicando a matriz pelo vetor :
Igualando às derivadas:

Passo 4

Para que essas igualdades sejam verdadeiras para qualquer e qualquer constante , devemos igualar os coeficientes correspondentes:
  1. Da primeira equação:
Como , necessariamente .
  1. Da segunda equação:
Novamente, como , temos .

Resposta

Portanto, a matriz que satisfaz o sistema é:

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Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas onde:
Determine a solução geral do sistema
Determine a solução geral do sistema se .
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas: