Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas onde:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear homogênea do tipo , onde é uma matriz. O que precisamos fazer aqui é encontrar a solução geral dessa equação, e para isso vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz . Esses conceitos vão nos ajudar a descobrir como o sistema se comporta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante de igual a zero, ou seja:
Para a nossa matriz , temos:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Então, temos dois autovalores: e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo :
Tomando a primeira linha:
Podemos escolher para simplificar:
Então, o autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Tomando a primeira linha:
Escolhendo :
Então, o autovetor é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para um sistema com autovalores distintos é dada por:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Determine um exemplo de sistema de E.D.O para o qual é solução para qualquer constante não-nula.
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