Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear homogênea do tipo
, onde
é uma matriz. O que precisamos fazer aqui é encontrar a solução geral dessa equação, e para isso vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz
. Esses conceitos vão nos ajudar a descobrir como o sistema se comporta ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante de
igual a zero, ou seja:
Para a nossa matriz
, temos:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Então, temos dois autovalores:
e
.
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Resolvendo
:
Tomando a primeira linha:
Podemos escolher
para simplificar:
Então, o autovetor
é
.
Para
:
Resolvendo
:
Tomando a primeira linha:
Escolhendo
:
Então, o autovetor
é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para um sistema
com autovalores distintos é dada por:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral do sistema
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Determine um exemplo de sistema de E.D.O
para o qual
é solução para qualquer constante
não-nula.
Determine a solução geral do sistema
se
.