Determine a solução geral do sistema
se
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais lineares dado por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis soluções para
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes, que são fundamentais para resolver sistemas lineares de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica, que é dada por:
onde
é a matriz identidade.
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores
:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os respectivos autovetores. Para cada autovalor
, resolvemos
para encontrar o autovetor
.
Vamos fazer isso para
:
Resolvendo
:
Podemos escolher
, então:
Assim, um autovetor correspondente a
é:
De forma similar, para
, encontramos:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de equações diferenciais. A solução geral para sistemas lineares com autovalores reais e distintos é dada por uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor.
Cada solução tem a forma:
Então, para os nossos autovalores e autovetores, temos:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine um exemplo de sistema de E.D.O
para o qual
é solução para qualquer constante
não-nula.
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde: