Determine a solução geral do sistema se .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais lineares dado por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis soluções para . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes, que são fundamentais para resolver sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade.
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores :
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os respectivos autovetores. Para cada autovalor , resolvemos para encontrar o autovetor .
Vamos fazer isso para :
Resolvendo :
Podemos escolher , então:
Assim, um autovetor correspondente a é:
De forma similar, para , encontramos:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de equações diferenciais. A solução geral para sistemas lineares com autovalores reais e distintos é dada por uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor.
Cada solução tem a forma:
Então, para os nossos autovalores e autovetores, temos:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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