Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária (E.D.O) linear homogênea. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). Não se preocupe, vou te explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Isso significa resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz dada e é a matriz identidade de mesma dimensão.

Passo 3

Calculando a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz deu negativa, teremos valores próprios complexos:

Passo 5

Com os valores próprios complexos, sabemos que a solução geral da E.D.O vai envolver exponenciais complexas que podem ser reescritas usando funções trigonométricas (seno e cosseno). A forma geral da solução será:
Onde:
  • é a parte real do valor próprio ( )
  • é a parte imaginária ( )
  • e são vetores que vêm dos autovetores correspondentes

Passo 6

Agora, vamos encontrar um autovetor correspondente a um dos valores próprios. Vamos usar .
Resolvendo :
Resolvendo isso, encontramos que um autovetor pode ser:

Passo 7

Com tudo isso, escrevemos a solução geral combinando as partes reais e imaginárias:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da E.D.O é:

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