Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária (E.D.O) linear homogênea. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). Não se preocupe, vou te explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Isso significa resolver a equação característica:
Aqui,
é a matriz dada e
é a matriz identidade de mesma dimensão.
Passo 3
Calculando a matriz
:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz deu negativa, teremos valores próprios complexos:
Passo 5
Com os valores próprios complexos, sabemos que a solução geral da E.D.O vai envolver exponenciais complexas que podem ser reescritas usando funções trigonométricas (seno e cosseno). A forma geral da solução será:
Onde:
-
é a parte real do valor próprio ( ) -
é a parte imaginária ( ) -
e são vetores que vêm dos autovetores correspondentes
Passo 6
Agora, vamos encontrar um autovetor correspondente a um dos valores próprios. Vamos usar
.
Resolvendo
:
Resolvendo isso, encontramos que um autovetor pode ser:
Passo 7
Com tudo isso, escrevemos a solução geral combinando as partes reais e imaginárias:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da E.D.O é:
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Determine a solução geral do sistema
se
.
Determine um exemplo de sistema de E.D.O
para o qual
é solução para qualquer constante
não-nula.
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas: