Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Passo 1
Vamos analisar a expressão
. Aqui, temos
como um campo escalar e queremos verificar se essa combinação de operadores faz sentido matemático. Para isso, precisamos entender o que são os operadores gradiente (
) e divergência (
) e como eles atuam em campos escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o operador divergência (
). A divergência é um operador que age sobre campos vetoriais e retorna um campo escalar. Ela mede a “tendência” de um campo vetorial se expandir ou contrair em um ponto. A fórmula da divergência em coordenadas cartesianas para um campo vetorial
é:
Observe que a divergência não está definida para campos escalares, pois ela requer a presença de componentes vetoriais para calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão
onde
é um campo escalar. Como vimos, a divergência precisa de um campo vetorial como entrada. Portanto, tentar aplicar
a um campo escalar
não faz sentido matematicamente. A operação é inválida porque não há componentes vetoriais para calcular as derivadas parciais necessárias.
Resposta
A expressão
não tem significado, pois a divergência (
) não pode ser aplicada a um campo escalar
. Portanto, a operação é inválida.