Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
grad(div(f))

Passo 1

Vamos analisar a expressão grad(div(f)). Aqui, temos f como um campo escalar e queremos verificar se essa combinação de operadores faz sentido matemático. Para isso, precisamos entender o que são os operadores gradiente ( ) e divergência ( ) e como eles atuam em campos escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o operador divergência ( ). A divergência é um operador que age sobre campos vetoriais e retorna um campo escalar. Ela mede a “tendência” de um campo vetorial se expandir ou contrair em um ponto. A fórmula da divergência em coordenadas cartesianas para um campo vetorial é:
Observe que a divergência não está definida para campos escalares, pois ela requer a presença de componentes vetoriais para calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão onde f é um campo escalar. Como vimos, a divergência precisa de um campo vetorial como entrada. Portanto, tentar aplicar a um campo escalar f não faz sentido matematicamente. A operação é inválida porque não há componentes vetoriais para calcular as derivadas parciais necessárias.

Resposta

A expressão grad(div(f)) não tem significado, pois a divergência ( ) não pode ser aplicada a um campo escalar f. Portanto, a operação é inválida.

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