Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico das funções , e e descobrir a área da região que essas curvas delimitam. Para isso, vamos usar integrais, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma dessas funções:
  • é uma reta que passa pela origem e sobe com uma inclinação de 2.
  • é uma reta que intercepta o eixo y em 2 e desce com uma inclinação de -1.
  • é uma linha horizontal que está sempre no valor 4 no eixo y.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas funções se intersectam, porque esses pontos vão determinar os limites da nossa região.
Vamos resolver onde intercepta :
Então, o ponto de interseção é .
Agora, vamos ver onde intercepta :
Então, o ponto é .
E onde intercepta :
Então, o ponto é .

Passo 4

Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico:
  • A reta passa por e .
  • A reta passa por e .
  • A linha é uma linha horizontal que cruza o eixo y em 4.
A região delimitada por essas curvas forma um trapézio.

Passo 5

Para calcular a área dessa região usando integrais, vamos dividir a área em duas partes: de a , e de a . Nesses intervalos, diferentes funções serão as superiores e inferiores.

Passo 6

No intervalo de a :
  • A função de cima é .
  • A função de baixo é .
A área é:

Passo 7

No intervalo de a :
  • A função de cima é .
  • A função de baixo é .
A área é:

Passo 8

Vamos calcular :

Passo 9

Agora, vamos calcular :

Resposta

Somando as duas áreas, a área total da região é:
Portanto, a área da região delimitada pelas funções , e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Derive.
Determine se existe ou não .
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .