Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico das funções
,
e
e descobrir a área da região que essas curvas delimitam. Para isso, vamos usar integrais, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma dessas funções:
-
é uma reta que passa pela origem e sobe com uma inclinação de 2. -
é uma reta que intercepta o eixo y em 2 e desce com uma inclinação de -1. -
é uma linha horizontal que está sempre no valor 4 no eixo y.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas funções se intersectam, porque esses pontos vão determinar os limites da nossa região.
Vamos resolver onde
intercepta
:
Então, o ponto de interseção é
.
Agora, vamos ver onde
intercepta
:
Então, o ponto é
.
E onde
intercepta
:
Então, o ponto é
.
Passo 4
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico:
- A reta
passa por e . - A reta
passa por e . - A linha
é uma linha horizontal que cruza o eixo y em 4.
A região delimitada por essas curvas forma um trapézio.
Passo 5
Para calcular a área dessa região usando integrais, vamos dividir a área em duas partes: de
a
, e de
a
. Nesses intervalos, diferentes funções serão as superiores e inferiores.
Passo 6
No intervalo de
a
:
- A função de cima é
. - A função de baixo é
.
A área
é:
Passo 7
No intervalo de
a
:
- A função de cima é
. - A função de baixo é
.
A área
é:
Passo 8
Vamos calcular
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
:
Resposta
Somando as duas áreas, a área total da região é:
Portanto, a área da região delimitada pelas funções
,
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Derive.
Determine se existe ou não
.
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.