Determine se existe ou não .

Passo 1

Beleza, vamos descobrir se a derivada de em , ou seja, , existe. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com o conceito de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e avaliar um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada de uma função em um ponto :
No nosso caso, queremos encontrar , então substituímos por 0:

Passo 3

Sabemos que pela definição da função. Então, a expressão fica:
Agora, substituímos pela expressão dada para :

Passo 4

Vamos analisar o limite . Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por (que está se aproximando de 0), temos:
Como se aproxima de 0, tanto quanto se aproximam de 0. Pelo Teorema do Squeeze (ou Sanduíche), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:

Resposta

Sim, a derivada existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Encontre a derivada da função.
Seja definida por . Se , determine o valor de .
A função é tal que , para todo e . Calcule o valor de .