Determine se existe ou não
.
Passo 1
Beleza, vamos descobrir se a derivada de
em
, ou seja,
, existe. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com o conceito de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e avaliar um limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada de uma função
em um ponto
:
No nosso caso, queremos encontrar
, então substituímos
por 0:
Passo 3
Sabemos que
pela definição da função. Então, a expressão fica:
Agora, substituímos
pela expressão dada para
:
Passo 4
Vamos analisar o limite
. Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por
(que está se aproximando de 0), temos:
Como
se aproxima de 0, tanto
quanto
se aproximam de 0. Pelo Teorema do Squeeze (ou Sanduíche), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
Resposta
Sim, a derivada
existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Encontre a derivada da função.
Seja
definida por
. Se
, determine o valor de
.
A função
é tal que
, para todo
e
. Calcule o valor de
.