A função é tal que , para todo e . Calcule o valor de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma função que satisfaz a propriedade para todos os números reais e . Essa propriedade é conhecida como additividade da função. Nosso objetivo é calcular o valor de .

Passo 2

Para encontrar , vamos usar a propriedade da função. Vamos substituir por qualquer número real e por 0 na equação . Assim, temos:

Passo 3

Sabemos que somar zero a qualquer número não muda o valor desse número, ou seja, . Portanto, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação . Subtraindo de ambos os lados, obtemos:
Então, descobrimos que .

Resposta

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Seja definida por . Se , determine o valor de .
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em que é uma constante e , para todo . Prove que é periódica.
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