Determine os limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o limite de uma função quando
se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente, limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades dos logaritmos e técnicas básicas de cálculo de limites.
Passo 2
Vamos escrever o limite que queremos calcular:
Aqui, quando substituímos
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, ou seja, temos uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos usar uma técnica para resolver essa indeterminação.
Passo 3
Uma técnica comum para resolver limites que resultam em
é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se temos:
então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital ao nosso limite. Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Quando
se aproxima de 0, a expressão
se aproxima de 1. Então:
Portanto:
Resposta
O limite é
.