Determine os limites: lim x 0 ln (1+3 x)4 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o limite de uma função quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente, limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades dos logaritmos e técnicas básicas de cálculo de limites.

Passo 2

Vamos escrever o limite que queremos calcular:
limx 0 ln(1 + 3x)4x
Aqui, quando substituímos , tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, ou seja, temos uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos usar uma técnica para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver limites que resultam em limx a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se temos:
limx a f'(x)g'(x)
então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital ao nosso limite. Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ddx ln(1 + 3x) = 31 + 3x :
ddx 4x = 4
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx 0 31 + 3x4 = 34 cdot limx 0 11 + 3x
Quando limx 0 11 + 3x = 1 se aproxima de 0, a expressão 34 cdot 1 = 34 se aproxima de 1. Então:
Portanto:

Resposta

O limite é .

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