Determine se existe um valor de a in R para o qual a função f(x) dada seja contínua: f(x) = { (x-2)/(x^2 - 4x + 4) se x <> 2; a se x = 2 }

Passo 1

Vamos analisar se existe um valor de que torna a função contínua. A função é definida por:
Para verificar a continuidade, precisamos garantir que o limite de quando se aproxima de 2 seja igual ao valor de . Vamos precisar usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão para :
Isso simplifica a função para:

Passo 3

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 2:
Observamos que, ao se aproximar de 2 pela direita ( ), o denominador tende a 0 positivo, fazendo com que o limite vá para . Já ao se aproximar pela esquerda ( ), o denominador tende a 0 negativo, fazendo com que o limite vá para .

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (um vai para e outro para ), o limite geral de quando se aproxima de 2 não existe. Isso significa que não há valor de que possa igualar ao limite existente, pois o limite não existe.

Resposta

Não, não existe um valor real de que torne a função contínua.

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