Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação
, com
e
constantes positivas. Encontre
para
, se
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos pede para resolver uma equação diferencial que descreve a corrente elétrica num circuito com indutor e resistor. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, aplicadas a Circuitos Elétricos. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Aqui,
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para a equação.
Passo 4
Reescrevendo a equação para facilitar a aplicação do método:
Aqui, identificamos que
Passo 5
Agora, encontramos o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação original por
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A corrente no circuito para
é: