Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação , com e constantes positivas. Encontre para , se .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos pede para resolver uma equação diferencial que descreve a corrente elétrica num circuito com indutor e resistor. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, aplicadas a Circuitos Elétricos. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Aqui, é a indutância, é a resistência, é a força eletromotriz constante, e é a corrente em função do tempo.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para a equação.
Passo 4
Reescrevendo a equação para facilitar a aplicação do método:
Aqui, identificamos que e .
Passo 5
Agora, encontramos o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação original por :
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Resolvendo para :
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :