Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação , com e constantes positivas. Encontre para , se .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para resolver uma equação diferencial que descreve a corrente elétrica num circuito com indutor e resistor. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, aplicadas a Circuitos Elétricos. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de uma forma mais familiar:

Aqui, é a indutância, é a resistência, é a força eletromotriz constante, e é a corrente em função do tempo.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para a equação.

Passo 4

Reescrevendo a equação para facilitar a aplicação do método:

Aqui, identificamos que e .

Passo 5

Agora, encontramos o fator integrante, que é dado por:

Multiplicamos toda a equação original por :

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Integrando ambos os lados:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A corrente no circuito para é:

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