A resposta dinâmica de um sistema massa-mola para um impulso unitário em
é dada por:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um sistema massa-mola que recebe um impulso bem repentino em
. A equação que descreve esse sistema é:
Isso significa que temos uma massa
ligada por uma mola com constante elástica
, e um impulso representado pela função delta de Dirac
. Nosso objetivo é encontrar a posição
da massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e a transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a aceleração. A equação
é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo de força impulsiva.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. A transformada de Laplace da equação fica:
Como as condições iniciais são
e
, a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
:
Isolando
:
Aqui, definimos
, que é a frequência natural do sistema.
Passo 5
Reconhecendo a transformada inversa de Laplace, sabemos que:
Então, aplicando a transformada inversa:
Resposta
A posição da massa ao longo do tempo é dada por: