A resposta dinâmica de um sistema massa-mola para um impulso unitário em t = 0 é dada por:
m * x'' + k * x = delta(t), x(0) = 0, x'(0) = 0
Encontre x = x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um sistema massa-mola que recebe um impulso bem repentino em . A equação que descreve esse sistema é:
Isso significa que temos uma massa ligada por uma mola com constante elástica , e um impulso representado pela função delta de Dirac . Nosso objetivo é encontrar a posição da massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e a transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa a segunda derivada de em relação ao tempo, ou seja, a aceleração. A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo de força impulsiva.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. A transformada de Laplace da equação fica:
Como as condições iniciais são e , a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos fatorar :
Isolando :
Aqui, definimos , que é a frequência natural do sistema.

Passo 5

Reconhecendo a transformada inversa de Laplace, sabemos que:
Então, aplicando a transformada inversa:

Resposta

A posição da massa ao longo do tempo é dada por:

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