Determine se existe um valor de para o qual a função dada seja contínua:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se existe um valor real que faça a função ser contínua. A função está definida de forma diferente para , e . Para que seja contínua em , o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita precisa ser igual ao valor da função em , que é . Vamos precisar usar o conceito de limite e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as expressões para e .
Para :
Vamos fatorar o numerador:
Então:
Podemos cancelar já que :
Passo 3
Agora, para :
Vamos fatorar o numerador:
Então:
Podemos cancelar novamente:
Passo 4
Agora que simplificamos as funções para e , vamos calcular os limites quando se aproxima de 1 por esses lados.
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Passo 5
Para a função ser contínua em , o limite pela esquerda e pela direita deve ser igual ao valor da função em . Ou seja: