Determine se existe um valor de a in R para o qual a função f(x) dada seja contínua: f(x) = { (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) se x < 1, a se x = 1, (2x^2 - 5x + 3) / (x - 1) se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se existe um valor real que faça a função ser contínua. A função está definida de forma diferente para , e . Para que seja contínua em , o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita precisa ser igual ao valor da função em , que é . Vamos precisar usar o conceito de limite e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões para e .
Para :
Vamos fatorar o numerador:
Então:
Podemos cancelar já que :

Passo 3

Agora, para :
Vamos fatorar o numerador:
Então:
Podemos cancelar novamente:

Passo 4

Agora que simplificamos as funções para e , vamos calcular os limites quando se aproxima de 1 por esses lados.
Limite pela esquerda ( ):
Limite pela direita ( ):

Passo 5

Para a função ser contínua em , o limite pela esquerda e pela direita deve ser igual ao valor da função em . Ou seja:
Já calculamos que:
Então:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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