Se e , determine usando a derivada da função inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função usando a derivada da função inversa. Aqui, estamos lidando com funções inversas e derivadas, que são tópicos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos e , ou seja, é a função inversa de . Para encontrar a derivada de , usaremos a fórmula da derivada da função inversa.

Passo 3

A fórmula para a derivada da função inversa diz que:
Então, precisamos primeiro encontrar a derivada de , que é .

Passo 4

Sabemos que . A derivada de é:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos por na derivada de :
Mas como é a função inversa de , então .

Passo 6

Precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então:
Portanto, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Então, .

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo:
Determine, se existir, as assíntotas de cada uma das funções abaixo e faça o gráfico das mesmas.
Seja . Verifique se: é contínua em .
Seja . Determine a função e o seu domínio.