Se
e
, determine
usando a derivada da função inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função
usando a derivada da função inversa. Aqui, estamos lidando com funções inversas e derivadas, que são tópicos de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos
e
, ou seja,
é a função inversa de
. Para encontrar a derivada de
, usaremos a fórmula da derivada da função inversa.
Passo 3
A fórmula para a derivada da função inversa diz que:
Então, precisamos primeiro encontrar a derivada de
, que é
.
Passo 4
Sabemos que
. A derivada de
é:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos
por
na derivada de
:
Mas como
é a função inversa de
, então
.
Passo 6
Precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então:
Portanto,
.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Então,
.
Passo 8
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
Determine, se existir, as assíntotas de cada uma das funções abaixo e faça o gráfico das mesmas.
Seja
. Verifique se:
é contínua em
.
Seja
. Determine a função
e o seu domínio.