(a) Determine, se existir, a inversa da matriz .
(b) Escreva a matriz , do item anterior, como produto de matrizes elementares, explicitando estas matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. No item (a), precisamos descobrir se a matriz tem uma inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e operações com matrizes. No item (b), se tiver inversa, vamos escrever como um produto de matrizes elementares, que são matrizes simples que realizam operações básicas como troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar, ou adição de múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Vamos começar com o item (a). Para saber se a matriz tem inversa, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz é:
Passo 3
Calculando o determinante de :
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Passo 4
Substituindo esses valores no cálculo do determinante:
Como o determinante de é , a matriz tem inversa.
Passo 5
Agora, vamos para o item (b). Queremos escrever a matriz como um produto de matrizes elementares. Matrizes elementares são aquelas que representam operações elementares sobre as linhas de uma matriz. Existem três tipos:
Troca de duas linhas.
Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos encontrar uma sequência de operações que transforma a matriz identidade na matriz . Cada operação correspondente será representada por uma matriz elementar, e o produto dessas matrizes será igual a .
Passo 6
Começando com a matriz identidade :
Vamos aplicar as operações necessárias para obter .
Operação 1: Multiplicar a primeira linha por 3.
Operação 2: Adicionar vezes a primeira linha à segunda linha.
Operação 3: Adicionar vezes a primeira linha à terceira linha.
Operação 4: Trocar a segunda e a terceira linhas.
Operação 5: Adicionar 1 vez a segunda linha à terceira linha (após a troca).
Passo 7
Agora, multiplicamos essas matrizes elementares na ordem inversa das operações que aplicamos:
Portanto, as matrizes elementares são:
Resposta
(a) A matriz tem inversa, pois seu determinante é .
(b) A matriz pode ser escrita como o produto das matrizes elementares , , , e :