Seja e , matrizes , onde e são, respectivamente, as colunas da matriz e as colunas da matriz . Suponha que é invertível e que
onde é um número real.
(a) Determine um valor para tal que seja invertível. Determine um valor para tal que não seja invertível.
(b) Escolha um valor para . Para esse valor de escolhido, o sistema tem solução? Se sim, exibir uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , cada uma . A matriz é invertível, ou seja, ela tem um inverso que, quando multiplicado por , dá a matriz identidade. A matriz é formada pelas colunas , que são combinações lineares das colunas de dependendo de um parâmetro .
O que precisamos fazer:
Parte (a): Encontrar valores de que façam ser invertível e valores que façam não ser invertível.
Parte (b): Escolher um valor específico para e verificar se o sistema tem solução. Se tiver, apresentar a solução.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos determinar para quais valores de a matriz é invertível ou não.
Primeiro, lembremos que uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, se , então é invertível. Se , então não é invertível.
Então, nosso objetivo �� calcular o determinante de e ver para quais valores de ele se anula.
Passo 3
Vamos montar a matriz com base nas informações dadas:
Agora, para facilitar, vamos expressar em termos das colunas de :
Isso porque pode ser visto como a matriz multiplicada por outra matriz que combina as colunas de .
Agora, o determinante de é o produto dos determinantes das duas matrizes:
Sabemos que é invertível, então . Portanto, a invertibilidade de depende apenas de .
Calculando esse determinante:
Então, temos:
Como , a matriz será invertível se , ou seja, se . E não será invertível quando , ou seja, quando .
Resposta
(a) A matriz é invertível para todo valor de diferente de 5. Ou seja, é invertível se . Por outro lado, quando , não é invertível.