Seja A=[A1 A2 A3] e B(k)=[B1 B2 B3], matrizes 3 times 3, onde Ai e Bi são, respectivamente, as colunas da matriz A e as colunas da matriz B. Suponha que A é invertível e que
B1=A1+A2, B2, k=5 A1+k A2 e B3=2 A2+3 A3,
onde k é um número real.
(a) Determine um valor para k tal que B(k) seja invertível. Determine um valor para k tal que B(k) não seja invertível.
(b) Escolha um valor para k. Para esse valor de k escolhido, o sistema B(k) X=A1 tem solução? Se sim, exibir uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , cada uma . A matriz é invertível, ou seja, ela tem um inverso que, quando multiplicado por , dá a matriz identidade. A matriz é formada pelas colunas , que são combinações lineares das colunas de dependendo de um parâmetro .
O que precisamos fazer:
  1. Parte (a): Encontrar valores de que façam ser invertível e valores que façam não ser invertível.
  2. Parte (b): Escolher um valor específico para e verificar se o sistema tem solução. Se tiver, apresentar a solução.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos determinar para quais valores de a matriz é invertível ou não.
Primeiro, lembremos que uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, se , então é invertível. Se , então não é invertível.
Então, nosso objetivo �� calcular o determinante de e ver para quais valores de ele se anula.

Passo 3

Vamos montar a matriz B(k) = B1 & B2 & B3 = A1 + A2 & 5A1 + kA2 & 2A2 + 3A3 com base nas informações dadas:
B(k) = A cdot 1 & 5 & 0 1 & k & 2 0 & 0 & 3
Agora, para facilitar, vamos expressar det(B(k)) = det(A) cdot det( 1 & 5 & 0 1 & k & 2 0 & 0 & 3 ) em termos das colunas de 1 & 5 & 0 1 & k & 2 0 & 0 & 3 :
det( 1 & 5 & 0 1 & k & 2 0 & 0 & 3 ) = 1 cdot k & 2 0 & 3 - 5 cdot 1 & 2 0 & 3 + 0 cdot 1 & k 0 & 0
Isso porque = 1 cdot (k cdot 3 - 0 cdot 2) - 5 cdot (1 cdot 3 - 0 cdot 2) + 0 pode ser visto como a matriz = 3k - 15 multiplicada por outra matriz que combina as colunas de det(B(k)) = det(A) cdot (3k - 15) .
Agora, o determinante de é o produto dos determinantes das duas matrizes:
Sabemos que é invertível, então . Portanto, a invertibilidade de depende apenas de .
Calculando esse determinante:
Então, temos:
Como , a matriz será invertível se , ou seja, se . E não será invertível quando , ou seja, quando .

Resposta

(a) A matriz é invertível para todo valor de diferente de 5. Ou seja, é invertível se . Por outro lado, quando , não é invertível.

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