Sejam e vetores em .
(a) Se , mostre que
(b) Se , gera o ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos quatro vetores, , , e , que estão no espaço . A parte (a) nos diz que e pede para mostrar que o conjunto de vetores tem o mesmo espaço gerado que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores e como a relação dada entre os vetores pode influenciar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado, também chamado de espaço linear ou subespaço, é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como , onde são escalares.

Passo 3

Agora, a relação que temos é . O que isso significa? Significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores, ou seja, não traz nenhuma nova direção para o espaço gerado. Assim, qualquer combinação que inclua pode ser reescrita sem ela, usando , e .

Passo 4

Vamos formalizar isso. Queremos mostrar que qualquer vetor no espaço gerado por também está no espaço gerado por . Tomemos um vetor genérico no primeiro espaço:
Substituindo pela relação dada:

Passo 5

Agora, vamos distribuir :
Perceba que esse vetor está apenas em termos de , e . Ou seja, toda combinação linear no conjunto que inclui pode ser reescrita sem .

Passo 6

Portanto, concluímos que o espaço gerado por é igual ao espaço gerado por , já que não adiciona nenhuma nova direção.

Resposta

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(a) Determine, se existir, a inversa da matriz .
(b) Escreva a matriz , do item anterior, como produto de matrizes elementares, explicitando estas matrizes.
Encontre a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema abaixo e a use para apresentar uma descrição paramétrica de seu conjunto solução:
Seja e , matrizes , onde e são, respectivamente, as colunas da matriz e as colunas da matriz . Suponha que é invertível e que
onde é um número real.
(a) Determine um valor para tal que seja invertível. Determine um valor para tal que não seja invertível.
(b) Escolha um valor para . Para esse valor de escolhido, o sistema tem solução? Se sim, exibir uma solução.
Verifique para quais valores de a matriz abaixo é inversível.