Sejam a1, a2, a3 e a4 vetores em R^m.
(a) Se a1+a2+3 a3=a4, mostre que La1, a2, a3, a4=La1, a2, a3
(b) Se m>4, a1, a2, a3, a4 gera o R^m ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos quatro vetores, , , e , que estão no espaço . A parte (a) nos diz que e pede para mostrar que o conjunto de vetores tem o mesmo espaço gerado que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores e como a relação dada entre os vetores pode influenciar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado, também chamado de espaço linear ou subespaço, é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como , onde são escalares.

Passo 3

Agora, a relação que temos é . O que isso significa? Significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores, ou seja, não traz nenhuma nova direção para o espaço gerado. Assim, qualquer combinação que inclua pode ser reescrita sem ela, usando , e .

Passo 4

Vamos formalizar isso. Queremos mostrar que qualquer vetor no espaço gerado por c1a1 + c2a2 + c3a3 + c4a4 também está no espaço gerado por c1a1 + c2a2 + c3a3 + c4(a1 + a2 + 3a3) . Tomemos um vetor genérico no primeiro espaço:
Substituindo pela relação dada:

Passo 5

Agora, vamos distribuir (c1 + c4)a1 + (c2 + c4)a2 + (c3 + 3c4)a3 :
Perceba que esse vetor está apenas em termos de , e . Ou seja, toda combinação linear no conjunto que inclui pode ser reescrita sem .

Passo 6

Portanto, concluímos que o espaço gerado por é igual ao espaço gerado por , já que não adiciona nenhuma nova direção.

Resposta

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