Sejam
e
vetores em
.
(a) Se
, mostre que
(b) Se
,
gera o
?
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos quatro vetores,
,
,
e
, que estão no espaço
. A parte (a) nos diz que
e pede para mostrar que o conjunto de vetores
tem o mesmo espaço gerado que
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores e como a relação dada entre os vetores pode influenciar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado, também chamado de espaço linear ou subespaço, é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como
, onde
são escalares.
Passo 3
Agora, a relação que temos é
. O que isso significa? Significa que
pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores, ou seja,
não traz nenhuma nova direção para o espaço gerado. Assim, qualquer combinação que inclua
pode ser reescrita sem ela, usando
,
e
.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Queremos mostrar que qualquer vetor no espaço gerado por
também está no espaço gerado por
. Tomemos um vetor genérico no primeiro espaço:
Substituindo
pela relação dada:
Passo 5
Agora, vamos distribuir
:
Perceba que esse vetor está apenas em termos de
,
e
. Ou seja, toda combinação linear no conjunto que inclui
pode ser reescrita sem
.
Passo 6
Portanto, concluímos que o espaço gerado por
é igual ao espaço gerado por
, já que
não adiciona nenhuma nova direção.