Sejam e vetores em .
(a) Se , mostre que
(b) Se , gera o ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos quatro vetores, , , e , que estão no espaço . A parte (a) nos diz que e pede para mostrar que o conjunto de vetores tem o mesmo espaço gerado que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores e como a relação dada entre os vetores pode influenciar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado, também chamado de espaço linear ou subespaço, é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como , onde são escalares.
Passo 3
Agora, a relação que temos é . O que isso significa? Significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores, ou seja, não traz nenhuma nova direção para o espaço gerado. Assim, qualquer combinação que inclua pode ser reescrita sem ela, usando , e .
Passo 4
Vamos formalizar isso. Queremos mostrar que qualquer vetor no espaço gerado por também está no espaço gerado por . Tomemos um vetor genérico no primeiro espaço:
Substituindo pela relação dada:
Passo 5
Agora, vamos distribuir :
Perceba que esse vetor está apenas em termos de , e . Ou seja, toda combinação linear no conjunto que inclui pode ser reescrita sem .
Passo 6
Portanto, concluímos que o espaço gerado por é igual ao espaço gerado por , já que não adiciona nenhuma nova direção.