Determine, se existir, os seguintes limites:
(k) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando lim x 2^- x^2 - 2xx^2 - 4x + 4 se aproxima de 2 pela esquerda da função:
Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e analisar o comportamento dela perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração. Olha só:
Numerador:
x^2 - 2x = x(x - 2)
Denominador:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Então, a expressão fica:
x(x - 2)(x - 2)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a fração. Podemos cancelar um fator xx - 2 no numerador e no denominador:
lim x 2^- xx - 2
Então, o limite que precisamos calcular agora é:

Passo 4

Vamos analisar o que acontece com essa fração quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ).
  • O numerador está se aproximando de 2.
  • O denominador está se aproximando de 0, mas pela esquerda, ou seja, valores um pouquinho menores que 2, então será um número negativo muito próximo de 0.

Passo 5

Quando dividimos um número positivo (próximo de 2) por um número negativo que está se aproximando de 0, o resultado vai tendendo para menos infinito. Isso porque estamos dividindo um número positivo por algo que está ficando cada vez mais negativo e pequeno.

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x 2^- x^2 - 2xx^2 - 4x + 4 = -infty

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Determine, se existir, os seguintes limites:
(j) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+3 x}-\sqrt{x+2}}{x+3 x^{2}}
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