Determine, se existir, os seguintes limites:
§ \lim _{x \rightarrow 9} \frac{x \sqrt{x}}{x^{2}-1}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 9 da expressão . Isso envolve conhecimentos de funções e limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Observamos que no numerador temos , que podemos escrever como . Já o denominador é , que é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que x^3/2(x - 1)(x + 1) , então:
Agora, nossa expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir 9^3/2(9 - 1)(9 + 1) = 9^1.58 cdot 10 na expressão simplificada para verificar se conseguimos calcular o limite diretamente:
9^1.5 = raiz9^3 = raiz729 = 27
Calculando 2780 :
Então:

Resposta

O limite é .

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