Determine, se existir, os seguintes limites:
(j) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+3 x}-\sqrt{x+2}}{x+3 x^{2}}

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui a gente vai usar conceitos de limites e uma técnica chamada racionalização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando colocamos na expressão. No numerador, fica e no denominador . Então, temos uma forma , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, vamos usar a racionalização do numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é raiz2+3x-raizx+2x+3x^2 times raiz2+3x+raizx+2raiz2+3x+raizx+2 . A gente faz isso para eliminar as raízes no numerador.
Então, multiplicamos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores. No numerador, usamos a identidade (raiz2+3x)^2 - (raizx+2)^2 = (2 + 3x) - (x + 2) = 2 + 3x - x - 2 = 2x :
(x + 3x^2)(raiz2+3x + raizx+2)
No denominador, temos:
2x(x + 3x^2)(raiz2+3x + raizx+2)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar 2xx(1 + 3x)(raiz2+3x + raizx+2) no denominador:
2(1 + 3x)(raiz2+3x + raizx+2)
Cancelamos o no numerador e denominador:

Passo 6

Finalmente, substituímos 2(1 + 0)(raiz2+0 + raiz0+2) = 21 times (raiz2 + raiz2) = 22raiz2 = 1raiz2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine, se existir, os seguintes limites:
(k) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}
Determine, se existir, os seguintes limites:
® \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}}{2}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
§ \lim _{x \rightarrow 9} \frac{x \sqrt{x}}{x^{2}-1}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(u) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{2+t-2}{t}.