Determine, se existir, os seguintes limites:
(j) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+3 x}-\sqrt{x+2}}{x+3 x^{2}}
(j) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+3 x}-\sqrt{x+2}}{x+3 x^{2}}
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Aqui a gente vai usar conceitos de limites e uma técnica chamada racionalização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando colocamos
na expressão. No numerador, fica
e no denominador
. Então, temos uma forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para resolver a indeterminação, vamos usar a racionalização do numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é
. A gente faz isso para eliminar as raízes no numerador.
Então, multiplicamos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores. No numerador, usamos a identidade
:
No denominador, temos:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar
no denominador:
Cancelamos o
no numerador e denominador:
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.