Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um limite quando
se aproxima de 1. A expressão que precisamos analisar é:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções racionais (frações com polinômios no numerador e denominador). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez fatorar algumas partes para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na segunda fração:
. O denominador
pode ser fatorado usando a diferença de cubos. A fórmula da diferença de cubos é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa fatoração na nossa expressão original:
Então, nossa expressão de limite fica:
Passo 4
Observamos que
é igual a
. Ou seja:
Vamos substituir isso na primeira fração:
Agora, a expressão de limite fica:
Passo 5
Vamos colocar as duas frações com o mesmo denominador, que é
. Para isso, ajustamos a primeira fração:
Agora, somamos as duas frações:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão de limite fica:
Passo 7
Agora, vamos analisar o numerador
. Podemos reescrever isso como:
Para facilitar, vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Passo 8
Agora, substituímos essa fatoração na expressão de limite:
Perceba que
, então:
Passo 9
Cancelamos o fator
no numerador e no denominador:
Agora, a expressão de limite simplificada é:
Passo 10
Finalmente, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, os seguintes limites:
(e)
(e)
Prove que a função modular é contínua em toda a reta, ou seja,
.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.