Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um limite quando limx to 1 ( 1x - 1 + 31 - x^3 ) se aproxima de 1. A expressão que precisamos analisar é:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções racionais (frações com polinômios no numerador e denominador). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez fatorar algumas partes para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na segunda fração: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . O denominador 1 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2) pode ser fatorado usando a diferença de cubos. A fórmula da diferença de cubos é:
No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa fatoração na nossa expressão original:
31 - x^3 = 3(1 - x)(1 + x + x^2)
Então, nossa expressão de limite fica:
limx to 1 ( 1x - 1 + 3(1 - x)(1 + x + x^2) )

Passo 4

Observamos que x - 1 = -(1 - x) é igual a 1x - 1 = 1-(1 - x) = -11 - x . Ou seja:
limx to 1 ( -11 - x + 3(1 - x)(1 + x + x^2) )
Vamos substituir isso na primeira fração:
Agora, a expressão de limite fica:

Passo 5

Vamos colocar as duas frações com o mesmo denominador, que é -11 - x = -1 + x + x^2(1 - x)(1 + x + x^2) . Para isso, ajustamos a primeira fração:
-1 + x + x^2(1 - x)(1 + x + x^2) + 3(1 - x)(1 + x + x^2) = - (1 + x + x^2) + 3 (1 - x)(1 + x + x^2)
Agora, somamos as duas frações:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
- (1 + x + x^2) + 3 = -1 - x - x^2 + 3 = 2 - x - x^2
Então, a expressão de limite fica:
limx to 1 2 - x - x^2(1 - x)(1 + x + x^2)

Passo 7

Agora, vamos analisar o numerador 2 - x - x^2 = -x^2 - x + 2 . Podemos reescrever isso como:
- x^2 - x + 2 = -(x^2 + x - 2) = -(x + 2)(x - 1)
Para facilitar, vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :

Passo 8

Agora, substituímos essa fatoração na expressão de limite:
limx to 1 - (x + 2)(x - 1) (1 - x)(1 + x + x^2)
Perceba que - (x + 2)(x - 1) (1 - x)(1 + x + x^2) = - (x + 2)( - (1 - x)) (1 - x)(1 + x + x^2) = (x + 2)(1 - x) (1 - x)(1 + x + x^2) , então:

Passo 9

Cancelamos o fator x + 2 1 + x + x^2 no numerador e no denominador:
limx to 1 x + 2 1 + x + x^2
Agora, a expressão de limite simplificada é:

Passo 10

Finalmente, substituímos 1 + 2 1 + 1 + 1^2 = 33 = 1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 1.

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