Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um limite quando se aproxima de 1. A expressão que precisamos analisar é:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções racionais (frações com polinômios no numerador e denominador). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez fatorar algumas partes para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na segunda fração: . O denominador pode ser fatorado usando a diferença de cubos. A fórmula da diferença de cubos é:
No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa fatoração na nossa expressão original:
Então, nossa expressão de limite fica:

Passo 4

Observamos que é igual a . Ou seja:
Vamos substituir isso na primeira fração:
Agora, a expressão de limite fica:

Passo 5

Vamos colocar as duas frações com o mesmo denominador, que é . Para isso, ajustamos a primeira fração:
Agora, somamos as duas frações:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão de limite fica:

Passo 7

Agora, vamos analisar o numerador . Podemos reescrever isso como:
Para facilitar, vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :

Passo 8

Agora, substituímos essa fatoração na expressão de limite:
Perceba que , então:

Passo 9

Cancelamos o fator no numerador e no denominador:
Agora, a expressão de limite simplificada é:

Passo 10

Finalmente, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Determine, se existir, os seguintes limites:
(e)
Prove que a função modular é contínua em toda a reta, ou seja, .
Determine, se existir, os seguintes limites:
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.