Determine, se existir, os seguintes limites:
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se obtemos um valor definido ou uma forma indeterminada:
Obtemos a forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para simplificar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador
. Sabemos que
pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, o denominador fica
.
Passo 4
Agora, analisamos o numerador
. Podemos tentar expressar isso de uma forma que envolva
, já que o denominador tem um fator
. Vamos reescrever
como
:
Isso nos ajuda a identificar a presença de
no numerador.
Passo 5
Agora, substituímos as expressões simplificadas no limite:
Podemos separar a fração em duas:
Simplificando o primeiro termo:
Passo 6
Para o segundo termo
, reconhecemos que se
, isso se assemelha à derivada de
no ponto
. Porém, para simplificar sem usar derivadas, podemos multiplicar o numerador e o denominador por
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta no limite:
Como todas as partes estão definidas quando
, substituímos
:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(e)
(e)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}
(i) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}