Determine, se existir, os seguintes limites:
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se obtemos um valor definido ou uma forma indeterminada:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para simplificar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador . Sabemos que pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, o denominador fica .

Passo 4

Agora, analisamos o numerador . Podemos tentar expressar isso de uma forma que envolva , já que o denominador tem um fator . Vamos reescrever como :
Isso nos ajuda a identificar a presença de no numerador.

Passo 5

Agora, substituímos as expressões simplificadas no limite:
Podemos separar a fração em duas:
Simplificando o primeiro termo:

Passo 6

Para o segundo termo , reconhecemos que se , isso se assemelha à derivada de no ponto . Porém, para simplificar sem usar derivadas, podemos multiplicar o numerador e o denominador por :

Passo 7

Agora, substituímos de volta no limite:
Como todas as partes estão definidas quando , substituímos :

Resposta

O limite é igual a .

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Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(e)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}