Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite quando
se aproxima de 1 da função
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com funções que podem tender ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme
se aproxima de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que temos uma divisão por zero, o que sugere que o limite pode tender ao infinito ou não existir. Mas precisamos investigar mais a fundo para entender o que está acontecendo.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do denominador
perto de
. Podemos fatorar o denominador:
Agora, vamos ver o sinal desse denominador quando
se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1.
-
Se
se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1, por exemplo, 0,99), então: O denominador será negativo. -
Se
se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1, por exemplo, 1,01), então: O denominador será positivo.
Passo 4
Agora que sabemos que o denominador tende a zero negativo quando
se aproxima de 1 pela esquerda e a zero positivo quando se aproxima pela direita, e o numerador
tende a 1, podemos concluir o seguinte:
-
Pela esquerda:
-
Pela direita:
Resposta
O limite não existe porque quando
se aproxima de 1 pela esquerda, a função tende a
, e quando se aproxima pela direita, tende a
.