Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite quando se aproxima de 1 da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com funções que podem tender ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que temos uma divisão por zero, o que sugere que o limite pode tender ao infinito ou não existir. Mas precisamos investigar mais a fundo para entender o que está acontecendo.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do denominador perto de . Podemos fatorar o denominador:
Agora, vamos ver o sinal desse denominador quando se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1.
  • Se se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1, por exemplo, 0,99), então:
    O denominador será negativo.
  • Se se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1, por exemplo, 1,01), então:
    O denominador será positivo.

Passo 4

Agora que sabemos que o denominador tende a zero negativo quando se aproxima de 1 pela esquerda e a zero positivo quando se aproxima pela direita, e o numerador tende a 1, podemos concluir o seguinte:
  • Pela esquerda:
    úó
  • Pela direita:
    úó

Resposta

O limite não existe porque quando se aproxima de 1 pela esquerda, a função tende a , e quando se aproxima pela direita, tende a .

Exercícios relacionados

Determine, se existir, os seguintes limites:
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}
Determine, se existir, os seguintes limites:
(m) \lim _{x \rightarrow 2}\left|\frac{x^{2}-4}{2-x}\right|.