Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite quando se aproxima de 1 da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com funções que podem tender ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz11^3-1 = 11-1 = 10 diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que temos uma divisão por zero, o que sugere que o limite pode tender ao infinito ou não existir. Mas precisamos investigar mais a fundo para entender o que está acontecendo.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do denominador x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) perto de x - 1 approx -0,01 (negativo) . Podemos fatorar o denominador:
x - 1 approx 0,01 (positivo)
Agora, vamos ver o sinal desse denominador quando se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1.
  • Se se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1, por exemplo, 0,99), então:
    O denominador será negativo.
  • Se se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1, por exemplo, 1,01), então:
    O denominador será positivo.

Passo 4

Agora que sabemos que o denominador tende a zero negativo quando raizxx^3-x approx 1número negativo próximo de zero -infty se aproxima de 1 pela esquerda e a zero positivo quando se aproxima pela direita, e o numerador raizxx^3-x approx 1número positivo próximo de zero +infty tende a 1, podemos concluir o seguinte:
  • Pela esquerda:
    úó
  • Pela direita:
    úó

Resposta

O limite não existe porque quando se aproxima de 1 pela esquerda, a função tende a , e quando se aproxima pela direita, tende a .

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