Determine, se existir, os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}

Passo 1

Entendendo o Enunciado e os Conceitos Envolvidos
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar o limite de uma função quando lim x 1^- |x-1|x-1 se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja, ). A função que estamos analisando é:
Conteúdo da Matéria:
  • Limites Laterais: Analisar o comportamento da função quando se aproxima de um ponto por um lado específico (neste caso, pela esquerda).
  • Valor Absoluto: Compreender como a função valor absoluto se comporta dependendo do valor de .
Para resolver isso, precisamos entender como o valor absoluto funciona e como aplicar os conceitos de limites laterais.

Passo 2

Analisando o Valor Absoluto
O valor absoluto representa a distância entre e 1 na reta numérica, sempre positiva ou zero. Dependendo de , podemos simplificar :
  • Se : é positivo, então .
  • Se : é negativo, então .
Como estamos analisando o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), sabemos que nessa situação. Portanto, podemos simplificar para .

Passo 3

Substituindo o Valor Absoluto na Função
Com a simplificação do passo anterior, substituímos |x-1|x-1 = 1 - xx - 1 por na função original:

Passo 4

Simplificando a Expressão
Vamos simplificar a fração:
1 - xx - 1 = -(x - 1)x - 1 = -1
Aqui, fatoramos o numerador como . Então, a fração simplifica para .

Passo 5

Calculando o Limite
Agora que simplificamos a expressão para lim x 1^- |x-1|x-1 = -1 , percebemos que essa é uma constante. Portanto, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é simplesmente:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados