Determine, se existir, os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}
(i) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}
Passo 1
Entendendo o Enunciado e os Conceitos Envolvidos
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar o limite de uma função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja,
). A função que estamos analisando é:
Conteúdo da Matéria:
- Limites Laterais: Analisar o comportamento da função quando
se aproxima de um ponto por um lado específico (neste caso, pela esquerda). - Valor Absoluto: Compreender como a função valor absoluto
se comporta dependendo do valor de .
Para resolver isso, precisamos entender como o valor absoluto funciona e como aplicar os conceitos de limites laterais.
Passo 2
Analisando o Valor Absoluto
O valor absoluto
representa a distância entre
e 1 na reta numérica, sempre positiva ou zero. Dependendo de
, podemos simplificar
:
- Se
: é positivo, então . - Se
: é negativo, então .
Como estamos analisando o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
), sabemos que
nessa situação. Portanto, podemos simplificar
para
.
Passo 3
Substituindo o Valor Absoluto na Função
Com a simplificação do passo anterior, substituímos
por
na função original:
Passo 4
Simplificando a Expressão
Vamos simplificar a fração:
Aqui, fatoramos o numerador
como
. Então, a fração simplifica para
.
Passo 5
Calculando o Limite
Agora que simplificamos a expressão para
, percebemos que essa é uma constante. Portanto, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda é simplesmente:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, os seguintes limites:
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{3}-x}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(m) \lim _{x \rightarrow 2}\left|\frac{x^{2}-4}{2-x}\right|.
(m) \lim _{x \rightarrow 2}\left|\frac{x^{2}-4}{2-x}\right|.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(s) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{4 x^{2}-1}{2 x-1}.
(s) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{4 x^{2}-1}{2 x-1}.