Determine, se existir, os seguintes limites:
(m) \lim _{x \rightarrow 2}\left|\frac{x^{2}-4}{2-x}\right|.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está no tópico de cálculo de limites, especificamente lidando com funções racionais e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica e entender como o valor absoluto afeta o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto: (x - 2)(x + 2)2 - x . Observamos que o numerador é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar.
Sabemos que . Então, substituindo na expressão original, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração. Note que (x - 2)(x + 2)-(x - 2) é igual a (x + 2)-1 = -(x + 2) . Então, podemos reescrever o denominador:
Aqui, o termo aparece no numerador e no denominador, e desde que (o que é válido porque estamos calculando o limite quando se aproxima de 2, mas não exatamente em 2), podemos cancelar esses termos:
Passo 4
Agora, voltamos à expressão original com o valor absoluto:
| -(x + 2) | = |x + 2|
O valor absoluto de é o mesmo que o valor absoluto de , já que o valor absoluto remove o sinal negativo.
Passo 5
Agora, calculamos o limite de lim x 2 |x + 2| = |2 + 2| = |4| = 4 quando se aproxima de 2: