Determine, se existir, os seguintes limites:
(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão:
Vamos resolver isso usando conhecimentos de limites e álgebra, especificamente a técnica de racionalização para lidar com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, observamos que se substituíssemos diretamente na expressão, teríamos:
Esse é um caso de indeterminação , o que significa que precisamos de uma estratégia para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que envolvem raízes quadradas é a racionalização. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No nosso caso, o conjugado de é .
Então, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as expressões:
No numerador, usamos a identidade :
No denominador, temos:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Podemos simplificar o no numerador e denominador:
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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(k)
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(w) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}
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(x)
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(m)