Determine, se existir, os seguintes limites:
(t) lim t 0 raiz2-t-raiz2t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando limt 0 raiz2 - t - raiz2t se aproxima de 0 da expressão:
Vamos resolver isso usando conhecimentos de limites e álgebra, especificamente a técnica de racionalização para lidar com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, observamos que se substituíssemos raiz2 - 0 - raiz20 = raiz2 - raiz20 = 00 diretamente na expressão, teríamos:
Esse é um caso de indeterminação , o que significa que precisamos de uma estratégia para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que envolvem raízes quadradas é a racionalização. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No nosso caso, o conjugado de raiz2 - t - raiz2t times raiz2 - t + raiz2raiz2 - t + raiz2 é .
Então, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as expressões:
No numerador, usamos a identidade (raiz2 - t)^2 - (raiz2)^2 = (2 - t) - 2 = -t :
t times (raiz2 - t + raiz2)
No denominador, temos:
-tt times (raiz2 - t + raiz2)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Podemos simplificar o -canceltcancelt times (raiz2 - t + raiz2) = -1raiz2 - t + raiz2 no numerador e denominador:
limt 0 -1raiz2 - t + raiz2 = -1raiz2 - 0 + raiz2 = -1raiz2 + raiz2 = -12raiz2
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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