Determine, se existir, os seguintes limites:
(x) lim x 2|x^2-42-x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite quando se aproxima de 2 na expressão . Isso envolve conceitos de limites, funções racionais e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Note que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 42 - x = (x - 2)(x + 2)2 - x
Então, a expressão dentro do valor absoluto fica:

Passo 3

Agora, observe que (x - 2)(x + 2)2 - x = (x - 2)(x + 2)-(x - 2) pode ser reescrito como (x - 2)(x + 2)-(x - 2) = -(x + 2) . Assim:
Aqui, o no numerador e no denominador se cancelam (desde que , o que já estamos considerando no limite). Então, sobra:

Passo 4

Agora, precisamos considerar o valor absoluto da expressão simplificada:
| x^2-42-x | = | -(x + 2) | = |x + 2|
O valor absoluto elimina o sinal negativo, então simplificamos para .

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite de limx 2 |x + 2| = |2 + 2| = |4| = 4 quando se aproxima de 2:

Resposta

O limite existe e é igual a 4.

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