Sejam u=(-2,1) e $\vec{v}=(1,1). Determine v=(1,1) Determine

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u=(-2,1) e v=(1,1), e precisamos encontrar a projeção de u sobre v, que é representada por projv u. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a projeção de um vetor sobre outro. Basicamente, a projeção de u sobre v é o vetor que representa a “sombra” de u na direção de v. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores u e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que também é o quadrado da magnitude de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (-2) times 1 + 1 times 1 = -2 + 1 = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v:
v cdot v = 1 times 1 + 1 times 1 = 1 + 1 = 2

Passo 5

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
projv u = ( -12 ) v = ( -12 ) (1, 1)

Passo 6

Multiplicando o escalar pelo vetor, temos:
projv u = ( -12, -12 )

Resposta

A projeção de u sobre v é ( -dfrac12, -dfrac12 ).

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