Determine, se existir, os seguintes limites:
(w) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui! O exercício pede para determinarmos o limite:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites envolvendo funções racionais e radicais.
O que vamos precisar: Conhecer o conceito de limites, saber identificar formas indeterminadas como e aplicar a regra de L’Hôpital para resolver esse tipo de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para ver se conseguimos calcular o limite direto:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão ou usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada , uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se:
então podemos calcular o limite das derivadas:

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Numerador:
Derivada:
Denominador:
Derivada:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Vamos simplificar isso:

Passo 6

Substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 3.

Exercícios relacionados

Determine, se existir, os seguintes limites:
(q)
O rádio - 226 decompõem-se radioativamente. Sua meia-vida, ou seja o tempo que leva para metade da amostra se decompor, é 1800 anos. Encontre a constante k na fórmula de decaimento para este composto.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(k)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(t)