Determine, se existir, os seguintes limites:
(w) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}
(w) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui! O exercício pede para determinarmos o limite:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites envolvendo funções racionais e radicais.
O que vamos precisar: Conhecer o conceito de limites, saber identificar formas indeterminadas como
e aplicar a regra de L’Hôpital para resolver esse tipo de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver se conseguimos calcular o limite direto:
Encontramos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão ou usar outra técnica para encontrar o limite.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma forma indeterminada
, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se:
então podemos calcular o limite das derivadas:
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Numerador:
Derivada:
Denominador:
Derivada:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Vamos simplificar isso:
Passo 6
Substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a 3.
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(q)
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Determine, se existir, os seguintes limites:
(k)
(k)
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(t)
(t)