O rádio - 226 decompõem-se radioativamente. Sua meia-vida, ou seja o tempo que leva para metade da amostra se decompor, é 1800 anos. Encontre a constante k na fórmula de decaimento para este composto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre decaimento radioativo! A gente tem o Rádio-226 que se decompõe com uma meia-vida de 1800 anos. Nosso objetivo aqui é encontrar a constante na fórmula de decaimento desse composto. Para isso, vamos usar a teoria de decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica do decaimento radioativo:
Aqui, é a quantidade de matéria que resta após o tempo , é a quantidade inicial, é a base dos logaritmos naturais, e é a constante de decaimento que queremos encontrar.

Passo 3

Sabemos que a meia-vida ( ) é o tempo necessário para que metade da substância se decompa. Isso significa que quando , . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 5

Sabemos que . Substituindo isso na equação:
Os sinais negativos se cancelam:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Sabemos que anos, então:

Resposta

A constante é aproximadamente .

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Determine, se existir, os seguintes limites:
(q)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(w) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}