Determine, se existir, , em que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o supremo (sup A) e o ínfimo (inf A) do conjunto , onde:
Isso significa que queremos encontrar o menor valor que é maior ou igual a todos os elementos de (supremo) e o maior valor que é menor ou igual a todos os elementos de (ínfimo).

Passo 2

Vamos resolver a desigualdade quadrática . Para isso, primeiro encontramos as raízes da equação associada .

Passo 3

Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
onde , e . Substituindo:
Então, as raízes são:

Passo 4

Agora que temos as raízes e , vamos analisar o sinal da expressão quadrática nos intervalos determinados por essas raízes:
  • Para
  • Para
  • Para

Passo 5

Escolhemos valores de teste em cada intervalo para determinar onde a expressão é negativa:
  • Para : Escolha
  • Para : Escolha
  • Para : Escolha
Portanto, a expressão é negativa somente no intervalo .

Passo 6

Assim, o conjunto pode ser descrito como:
Este é um intervalo aberto, o que significa que os limites e não estão incluídos em .

Passo 7

Agora, para encontrar o inf A e o sup A:
  • O ínfimo de é o menor valor que é menor ou igual a todos os elementos de . Como começa em (mas sem incluir), o ínfimo é:
  • O supremo de é o maior valor que é maior ou igual a todos os elementos de . Como vai até (mas sem incluir), o supremo é:

Resposta

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Mostre que , para todo .
Mostre que se e , então, . (Dica: .
Diz-se que uma função é limitada superiormente quando sua imagem for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dadas as funções limitadas superiormente, prove que o produto : é uma função limitada superiormente e que .
Diz-se que uma função é limitada superiormente quando sua imagem for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Prove que se forem funções limitadas superiormente, então, é limitada superiormente e que .