Determine, se existir,
, em que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o supremo ( , onde:
sup A
) e o ínfimo (inf A
) do conjunto
Isso significa que queremos encontrar o menor valor que é maior ou igual a todos os elementos de
(supremo) e o maior valor que é menor ou igual a todos os elementos de
(ínfimo).
Passo 2
Vamos resolver a desigualdade quadrática
. Para isso, primeiro encontramos as raízes da equação associada
.
Passo 3
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
onde
,
e
. Substituindo:
Então, as raízes são:
Passo 4
Agora que temos as raízes
e
, vamos analisar o sinal da expressão quadrática
nos intervalos determinados por essas raízes:
- Para
- Para
- Para
Passo 5
Escolhemos valores de teste em cada intervalo para determinar onde a expressão é negativa:
- Para
: Escolha - Para
: Escolha - Para
: Escolha
Portanto, a expressão
é negativa somente no intervalo
.
Passo 6
Assim, o conjunto
pode ser descrito como:
Este é um intervalo aberto, o que significa que os limites
e
não estão incluídos em
.
Passo 7
Agora, para encontrar o inf A e o sup A:
- O ínfimo de
é o menor valor que é menor ou igual a todos os elementos de . Como começa em (mas sem incluir), o ínfimo é:
- O supremo de
é o maior valor que é maior ou igual a todos os elementos de . Como vai até (mas sem incluir), o supremo é:
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que
, para todo
.
Mostre que se
e
, então,
. (Dica:
.
Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dadas as funções
limitadas superiormente, prove que o produto
:
é uma função limitada superiormente e que
.
Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Prove que se
forem funções limitadas superiormente, então,
é limitada superiormente e que
.