Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Prove que se
forem funções limitadas superiormente, então,
é limitada superiormente e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções que são “limitadas superiormente”. A gente vai precisar entender o que significa uma função ser limitada superiormente e como calcular o supremo dessas funções. Nosso objetivo é mostrar que se temos duas funções que são limitadas superiormente, a soma delas também é limitada superiormente e que o supremo da soma é no máximo a soma dos supremos individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função limitada superiormente. Uma função
é limitada superiormente se existe um número real que é maior ou igual a todos os valores que
pode assumir. Esse número é chamado de supremo da função, denotado por
. Formalmente:
Isso significa que
é o menor número real que é maior ou igual a todos os
.
Passo 3
Agora, temos duas funções
e
que são limitadas superiormente. Ou seja, existem
e
tais que:
Queremos mostrar que a função
, definida por
, também é limitada superiormente.
Passo 4
Vamos somar as duas desigualdades que temos:
Isso mostra que, para qualquer
, o valor de
nunca será maior do que
. Então,
está limitado superiormente por
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o supremo da função
. Pelo que vimos, todos os valores de
são menores ou iguais a
. Portanto, o menor limite superior possível para
também não pode ser maior que
.
Matematicamente, isso significa:
Resposta
Assim, provamos que se
e
são funções limitadas superiormente, então
também é limitada superiormente e satisfaz
.
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Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dadas as funções
limitadas superiormente, prove que o produto
:
é uma função limitada superiormente e que
.
Determine, se existir,
, em que
Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dê exemplos de funções
e
tais que