Diz-se que uma função f: X -> R é limitada superiormente quando sua imagem f(X) f(x) ; x in X for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
sup f = sup { f(x) ; x in X }
Prove que se f, g: X -> R forem funções limitadas superiormente, então, f + g: X -> R é limitada superiormente e que sup(f + g) <= sup(f) + sup(g).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções que são “limitadas superiormente”. A gente vai precisar entender o que significa uma função ser limitada superiormente e como calcular o supremo dessas funções. Nosso objetivo é mostrar que se temos duas funções que são limitadas superiormente, a soma delas também é limitada superiormente e que o supremo da soma é no máximo a soma dos supremos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função limitada superiormente. Uma função é limitada superiormente se existe um número real que é maior ou igual a todos os valores que pode assumir. Esse número é chamado de supremo da função, denotado por . Formalmente:
Isso significa que é o menor número real que é maior ou igual a todos os .

Passo 3

Agora, temos duas funções e que são limitadas superiormente. Ou seja, existem e tais que:
Queremos mostrar que a função , definida por , também é limitada superiormente.

Passo 4

Vamos somar as duas desigualdades que temos:
Isso mostra que, para qualquer , o valor de nunca será maior do que . Então, está limitado superiormente por .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o supremo da função . Pelo que vimos, todos os valores de são menores ou iguais a . Portanto, o menor limite superior possível para também não pode ser maior que .
Matematicamente, isso significa:

Resposta

Assim, provamos que se e são funções limitadas superiormente, então também é limitada superiormente e satisfaz .

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