Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dadas as funções
limitadas superiormente, prove que o produto
:
é uma função limitada superiormente e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções
e
que mapeiam um conjunto
para os números reais positivos (
) e estão limitadas acima. Queremos provar que o produto dessas duas funções,
, também está limitado acima e que o supremo do produto é menor ou igual ao produto dos supremos individuais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser limitada superiormente e como o supremo funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função limitada superiormente. Dizemos que uma função
é limitada superiormente se existe um número real
tal que para todo
,
O menor desses
é chamado de supremo de
, denotado por
.
No nosso caso, sabemos que
e
são limitadas superiormente, então existem
e
tais que:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que o produto
também é limitado superiormente. Vamos multiplicar as duas desigualdades que temos:
Isso vale para todo
, então o produto
está limitado acima por
. Portanto,
é uma função limitada superiormente.
Passo 4
Por último, vamos relacionar os supremos. Como
e
, temos que:
Isso mostra que o supremo do produto das funções é, de fato, menor ou igual ao produto dos supremos individuais.
Resposta
Portanto, provamos que o produto
é uma função limitada superiormente e que:
Exercícios relacionados
Determine, se existir,
, em que
Mostre que
, para todo
.
Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Prove que se
forem funções limitadas superiormente, então,
é limitada superiormente e que
.
Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dê exemplos de funções
e
tais que