Diz-se que uma função f: X -> R é limitada superiormente quando sua imagem f(X) f(x) ; x in X for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
sup f = sup { f(x) ; x in X }
Dadas as funções f, g: X -> R+limitadas superiormente, prove que o produto f * g : X -> R+é uma função limitada superiormente e que sup(f * g) <= (sup f) * (sup g).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções e que mapeiam um conjunto para os números reais positivos ( ) e estão limitadas acima. Queremos provar que o produto dessas duas funções, , também está limitado acima e que o supremo do produto é menor ou igual ao produto dos supremos individuais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser limitada superiormente e como o supremo funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função limitada superiormente. Dizemos que uma função é limitada superiormente se existe um número real tal que para todo ,
O menor desses é chamado de supremo de , denotado por .
No nosso caso, sabemos que e são limitadas superiormente, então existem e tais que:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que o produto também é limitado superiormente. Vamos multiplicar as duas desigualdades que temos:
Isso vale para todo , então o produto está limitado acima por . Portanto, é uma função limitada superiormente.

Passo 4

Por último, vamos relacionar os supremos. Como e , temos que:
Isso mostra que o supremo do produto das funções é, de fato, menor ou igual ao produto dos supremos individuais.

Resposta

Portanto, provamos que o produto é uma função limitada superiormente e que:

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