Determine, se existir, o valor do limite em cada item. Caso não exista, determine se é ou ou nenhum dos dois (use o símbolo para este último caso).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador . Procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e +2. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão +6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então, temos:

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
Agora, tentamos substituir . Mas, se fizermos isso, o denominador se torna zero, causando uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão antes.

Passo 5

Observando a expressão fatorada, vemos que não há fatores comuns no numerador e no denominador que possamos cancelar. Portanto, a indeterminação persiste, e precisamos analisar os limites laterais ou simplificar de outra forma.

Passo 6

Como não conseguimos simplificar a expressão, vamos avaliar o comportamento da função à medida que se aproxima de 2 por valores menores e maiores que 2.
  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
    • O numerador
    • O denominador , mas o denominador está se aproximando de 0 negativo.
    • Portanto, o limite tende a .
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    • O numerador permanece
    • O denominador agora está se aproximando de 0 positivo.
    • Portanto, o limite tende a .

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite geral não existe.

Resposta

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Determine, se existir, o valor do limite em cada item. Caso não exista, determine se é ou ou nenhum dos dois (use o símbolo para este último caso).
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