Determine, se existir, o valor do limite em cada item. Caso não exista, determine se é +infty ou -infty ou nenhum dos dois (use o símbolo nexists para este último caso).
lim x 1 raiz5 x+4-3x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite . Isso está no campo dos limites, uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver, a gente vai precisar manipular a expressão para eliminar a forma indeterminada que aparece quando substituímos .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão. No numerador: . No denominador: . Então, temos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz5x + 4 - 3x - 1 cdot raiz5x + 4 + 3raiz5x + 4 + 3 é . Vamos fazer isso:

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores, temos:
(raiz5x + 4 - 3)(raiz5x + 4 + 3)(x - 1)(raiz5x + 4 + 3)
No numerador, usamos a identidade (raiz5x + 4)^2 - 3^2 = (5x + 4) - 9 = 5x - 5 :
5x - 5(x - 1)(raiz5x + 4 + 3)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador 5(x - 1) fatorando o 5:
5(x - 1)(x - 1)(raiz5x + 4 + 3)
Substituindo de volta na expressão:
5raiz5x + 4 + 3
Podemos cancelar o termo que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo 5raiz5 cdot 1 + 4 + 3 = 5raiz9 + 3 = 53 + 3 = 56 :

Resposta

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