Sejam u e v vetores no espaço. Mostre que
Se u x v é não nulo e w é um vetor qualquer no espaço, então existem números reais a, b e c tais que w=a(u x v)+b u+c v.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, no espaço tridimensional. A gente precisa mostrar que se o produto vetorial u times v não for nulo, então para qualquer vetor w no espaço, é possível encontrar números reais a, b e c tais que w = a(u times v) + bu + cv. Ou seja, queremos expressar w como uma combinação linear dos vetores u, v e u times v. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Basicamente, dizer que w é uma combinação linear de u, v e u times v significa que existe algum conjunto de escalares (números reais) a, b e c que, quando multiplicamos cada vetor por esses escalars e somamos tudo, a gente obtém w. Então, nosso objetivo é encontrar ou mostrar que tais números a, b e c existem.

Passo 3

Agora, vamos pensar na independência linear dos vetores envolvidos. Se o produto vetorial u times v não for nulo, isso significa que u e v não são paralelos, ou seja, eles são linearmente independentes. Além disso, o vetor u times v é perpendicular a ambos u e v, o que nos dá mais uma dimensão no espaço. Portanto, os vetores u, v e u times v são três vetores que não estão todos na mesma linha ou plano, o que indica que eles são linearmente independentes e formam uma base para o espaço tridimensional.

Passo 4

Sabendo que u, v e u times v formam uma base para o espaço, qualquer vetor w nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Ou seja, sempre podemos encontrar a, b e c tais que w = a(u times v) + bu + cv. Essa é uma propriedade fundamental de bases em álgebra linear: qualquer vetor no espaço pode ser expresso de forma única como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 5

Para finalizar, como demonstramos que u, v e u times v formam uma base e, portanto, podem gerar qualquer vetor no espaço tridimensional através de combinações lineares, concluímos que realmente existem números reais a, b e c que satisfazem a igualdade w = a(u times v) + bu + cv para qualquer vetor w dado.

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer vetor w no espaço, existem números reais a, b e c tais que w = a(u times v) + bu + cv.

Exercícios relacionados