Sejam
e
vetores no espaço. Mostre que
Se
é não nulo e
é um vetor qualquer no espaço, então existem números reais
e
tais que
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, no espaço tridimensional. A gente precisa mostrar que se o produto vetorial
não for nulo, então para qualquer vetor
no espaço, é possível encontrar números reais
,
e
tais que
. Ou seja, queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Basicamente, dizer que
é uma combinação linear de
,
e
significa que existe algum conjunto de escalares (números reais)
,
e
que, quando multiplicamos cada vetor por esses escalars e somamos tudo, a gente obtém
. Então, nosso objetivo é encontrar ou mostrar que tais números
,
e
existem.
Passo 3
Agora, vamos pensar na independência linear dos vetores envolvidos. Se o produto vetorial
não for nulo, isso significa que
e
não são paralelos, ou seja, eles são linearmente independentes. Além disso, o vetor
é perpendicular a ambos
e
, o que nos dá mais uma dimensão no espaço. Portanto, os vetores
,
e
são três vetores que não estão todos na mesma linha ou plano, o que indica que eles são linearmente independentes e formam uma base para o espaço tridimensional.
Passo 4
Sabendo que
,
e
formam uma base para o espaço, qualquer vetor
nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Ou seja, sempre podemos encontrar
,
e
tais que
. Essa é uma propriedade fundamental de bases em álgebra linear: qualquer vetor no espaço pode ser expresso de forma única como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 5
Para finalizar, como demonstramos que
,
e
formam uma base e, portanto, podem gerar qualquer vetor no espaço tridimensional através de combinações lineares, concluímos que realmente existem números reais
,
e
que satisfazem a igualdade
para qualquer vetor
dado.
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer vetor
no espaço, existem números reais
,
e
tais que
.