Sejam u e v vetores no espaço. Mostre que
Se u x v é não nulo e u é ortogonal a v, então u x(u x v) é paralelo a v.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores no espaço, a gente chama eles de u e v. A questão pede para mostrar que, se o produto vetorial u times v não é zero e u é perpendicular a v, então o vetor u times (u times v) é paralelo a v. Vamos usar propriedades de produtos vetoriais e vetores paralelos pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores, como u times v, resulta em um vetor que é perpendicular tanto a u quanto a v. Então, se u times v não é zero, significa que u e v não são paralelos.

Passo 3

Sabemos também que se u é ortogonal (perpendicular) a v, então o produto interno entre eles é zero, ou seja, u cdot v = 0. Isso é importante porque vamos usar essa propriedade na próxima etapa.

Passo 4

Agora, vamos calcular u times (u times v). Existe uma propriedade vetorial chamada identidade de Jacobi, que nos ajuda a simplificar isso. A identidade diz que:
a times (b times c) = b (a cdot c) - c (a cdot b)
Aplicando isso com a = u, b = u e c = v, temos:
u times (u times v) = u (u cdot v) - v (u cdot u)

Passo 5

Lembre que u cdot v = 0 porque u é ortogonal a v. Além disso, u cdot u é igual ao quadrado do módulo de u, ou seja, |u|^2. Substituindo isso na equação:
u times (u times v) = u cdot 0 - v |u|^2 = -|u|^2 v

Resposta

Portanto, u times (u times v) é igual a -|u|^2 v, o que mostra que esse vetor é paralelo a v.

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