Sejam
e
vetores no espaço. Mostre que
Se
é não nulo e
é ortogonal a
, então
é paralelo a
.
Se
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores no espaço, a gente chama eles de
e
. A questão pede para mostrar que, se o produto vetorial
não é zero e
é perpendicular a
, então o vetor
é paralelo a
. Vamos usar propriedades de produtos vetoriais e vetores paralelos pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores, como
, resulta em um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Então, se
não é zero, significa que
e
não são paralelos.
Passo 3
Sabemos também que se
é ortogonal (perpendicular) a
, então o produto interno entre eles é zero, ou seja,
. Isso é importante porque vamos usar essa propriedade na próxima etapa.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Existe uma propriedade vetorial chamada identidade de Jacobi, que nos ajuda a simplificar isso. A identidade diz que:
Aplicando isso com
,
e
, temos:
Passo 5
Lembre que
porque
é ortogonal a
. Além disso,
é igual ao quadrado do módulo de
, ou seja,
. Substituindo isso na equação:
Resposta
Portanto,
é igual a
, o que mostra que esse vetor é paralelo a
.