Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Isso envolve entender um pouco sobre funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. As assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, pois aí a função não está definida e pode “quebrar”. Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver para
:
Resolvendo, temos:
Então, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota horizontal. Para funções racionais, se o grau do numerador (a maior potência de
no topo) for maior que o grau do denominador (a maior potência de
embaixo), geralmente não há assíntota horizontal.
No nosso caso:
- Grau do numerador: 2 (porque
) - Grau do denominador: 1 (porque
)
Como 2 é maior que 1, isso significa que não há assíntota horizontal para essa função.
Passo 4
Porém, quando o grau do numerador é maior que o do denominador, podemos ter uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial do numerador pelo denominador.
Dividindo
por
:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos do numerador: - Agora, dividimos
por e obtemos 3. - Multiplicamos 3 por
e subtraímos:
Então, a divisão resulta em
. A parte
é a equação da assíntota oblíqua.
Resposta
A função
possui:
- Assíntota vertical em
- Assíntota oblíqua na reta
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine, se existirem,
e
.
Calcule os limites, se existirem. Caso não existirem, justifique.
Encontre o domínio da função
Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.