Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir. f(x)=(x^2-4)/(x-3)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Isso envolve entender um pouco sobre funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. As assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, pois aí a função não está definida e pode “quebrar”. Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver para :
Resolvendo, temos:
Então, existe uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota horizontal. Para funções racionais, se o grau do numerador (a maior potência de no topo) for maior que o grau do denominador (a maior potência de embaixo), geralmente não há assíntota horizontal.
No nosso caso:
  • Grau do numerador: 2 (porque )
  • Grau do denominador: 1 (porque )
Como 2 é maior que 1, isso significa que não há assíntota horizontal para essa função.

Passo 4

Porém, quando o grau do numerador é maior que o do denominador, podemos ter uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial do numerador pelo denominador.
Dividindo por :
  1. Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
  2. Agora, dividimos por e obtemos 3.
  3. Multiplicamos 3 por e subtraímos:
Então, a divisão resulta em . A parte é a equação da assíntota oblíqua.

Resposta

A função possui:
  • Assíntota vertical em
  • Assíntota oblíqua na reta

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