Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo. *(x + 2)(2 - 3x) / (x(x^2 + 1)) <= 0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma inequação racional:
O conteúdo envolvido aqui é Inequações Racionais. Para resolver, vamos precisar identificar os zeros do numerador e do denominador, pois eles nos ajudarão a determinar os intervalos onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de que anulam o numerador:
Resolvendo:
Então, os zeros do numerador são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que anulam o denominador:
Resolvendo:
Como não tem solução real, o único zero do denominador real é .

Passo 4

Vamos agora identificar os pontos críticos que dividem a reta real em intervalos. Esses pontos são os zeros do numerador e do denominador:
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos:

Passo 5

Em cada intervalo, vamos determinar o sinal da expressão . Lembre-se que é sempre positivo para todo real, então vamos focar nos sinais de , e .
Vamos criar uma tabela de sinais:
Intervalo Sinal da expressão
Negativo Positivo Negativo
Positivo Positivo Negativo
Positivo Positivo Positivo
Positivo Negativo Positivo

Passo 6

A inequação pede onde a expressão é menor ou igual a zero ( ). Observando a tabela de sinais, isso ocorre nos intervalos onde o sinal é negativo ou zero. Além disso, devemos considerar os pontos onde a expressão é igual a zero, ou seja, e .
Entretanto, não está no domínio da função (denominador zero), então excluímos .

Passo 7

Assim, as soluções são:
  • no intervalo
  • no intervalo
  • Incluindo os pontos onde a expressão é zero: e

Resposta

O conjunto das soluções da inequação é:

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