Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma inequação racional:
O conteúdo envolvido aqui é Inequações Racionais. Para resolver, vamos precisar identificar os zeros do numerador e do denominador, pois eles nos ajudarão a determinar os intervalos onde a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que anulam o numerador:
Resolvendo:
Então, os zeros do numerador são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que anulam o denominador:
Resolvendo:
Como
não tem solução real, o único zero do denominador real é
.
Passo 4
Vamos agora identificar os pontos críticos que dividem a reta real em intervalos. Esses pontos são os zeros do numerador e do denominador:
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos:
Passo 5
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal da expressão
. Lembre-se que
é sempre positivo para todo
real, então vamos focar nos sinais de
,
e
.
Vamos criar uma tabela de sinais:
Intervalo |
|
|
|
Sinal da expressão |
---|---|---|---|---|
|
Negativo | Positivo | Negativo |
|
|
Positivo | Positivo | Negativo |
|
|
Positivo | Positivo | Positivo |
|
|
Positivo | Negativo | Positivo |
|
Passo 6
A inequação pede onde a expressão é menor ou igual a zero (
). Observando a tabela de sinais, isso ocorre nos intervalos onde o sinal é negativo ou zero. Além disso, devemos considerar os pontos onde a expressão é igual a zero, ou seja,
e
.
Entretanto,
não está no domínio da função (denominador zero), então excluímos
.
Passo 7
Assim, as soluções são:
-
no intervalo -
no intervalo - Incluindo os pontos onde a expressão é zero:
e
Resposta
O conjunto das soluções da inequação é:
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Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.
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(incluindo o domínio dela) que satisfaz