Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(i) , para todo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por para todo polinômio no espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor e um autovetor satisfazem a equação . No nosso caso, é um polinômio de grau no máximo 2, ou seja, .
Passo 3
Aplicando a transformação no polinômio , temos:
Vamos expandir isso:
Passo 4
Segundo a definição de autovalor e autovetor, precisamos que:
Portanto:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Começando pela terceira equação:
Isso implica que ou ou .
Caso 1: então .
Caso 2:.
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo nas outras equações:
Simplificando:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Portanto, pode ser qualquer valor. Assim, os autovetores são os polinômios constantes .
Passo 7
Caso 2:
Com , a segunda equação fica:
Isso implica que ou ou .
Se , então .
Se , então apenas pode ser não nulo, o que nos leva novamente aos polinômios constantes com .
Passo 8
Portanto, o único autovalor é , e os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes , onde é um escalar em .
Resposta
O único autovalor de é e os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes da forma , onde .