Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(i) , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por para todo polinômio no espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor e um autovetor satisfazem a equação . No nosso caso, é um polinômio de grau no máximo 2, ou seja, .

Passo 3

Aplicando a transformação no polinômio , temos:
Vamos expandir isso:

Passo 4

Segundo a definição de autovalor e autovetor, precisamos que:
Portanto:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Começando pela terceira equação:
Isso implica que ou ou .
Caso 1: então .
Caso 2: .
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 6

Caso 1:
Substituindo nas outras equações:
Simplificando:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Portanto, pode ser qualquer valor. Assim, os autovetores são os polinômios constantes .

Passo 7

Caso 2:
Com , a segunda equação fica:
Isso implica que ou ou .
  • Se , então .
  • Se , então apenas pode ser não nulo, o que nos leva novamente aos polinômios constantes com .

Passo 8

Portanto, o único autovalor é , e os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes , onde é um escalar em .

Resposta

O único autovalor de é e os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes da forma , onde .

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Seja a matriz tal que , então qual o valor de ?
Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear:
Verifique se é autovalor da matriz transformação linear associado ao autovetor
Sejam as matrizes , em que , e em que . Determine: