Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de T em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(i) T(p(x))=p(1+x), para todo p(x) in P2(F).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por para todo polinômio no espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor e um autovetor satisfazem a equação . No nosso caso, é um polinômio de grau no máximo 2, ou seja, .

Passo 3

Aplicando a transformação T(v(x)) = v(1 + x) = a + b(1 + x) + c(1 + x)^2 no polinômio v(1 + x) = a + b + b x + c(1 + 2x + x^2) = (a + b + c) + (b + 2c)x + c x^2 , temos:
Vamos expandir isso:

Passo 4

Segundo a definição de autovalor e autovetor, precisamos que:
T(v(x)) = lambda v(x)
Portanto:
(a + b + c) + (b + 2c)x + c x^2 = lambda(a + b x + c x^2)
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
a + b + c = lambda a b + 2c = lambda b c = lambda c

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Começando pela terceira equação:
c = lambda c
Isso implica que ou ou .
Caso 1: então .
Caso 2: .
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 6

Caso 1: a + b + c = a b + 2c = b
Substituindo b + c = 0 2c = 0 nas outras equações:
Simplificando:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Portanto, pode ser qualquer valor. Assim, os autovetores são os polinômios constantes .

Passo 7

Caso 2: b = lambda b
Com , a segunda equação fica:
Isso implica que ou ou .
  • Se , então .
  • Se , então apenas pode ser não nulo, o que nos leva novamente aos polinômios constantes com .

Passo 8

Portanto, o único autovalor é , e os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes , onde é um escalar em .

Resposta

O único autovalor de é e os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes da forma , onde .

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