Sejam T in L(V), com dim V=n, e A=[T]alpha^alpha in R^n times n, para alguma base alpha de V. Mostre que:
(b) Se n é ímpar e det(A)<0, então T possui pelo menos um autovalor negativo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão , e uma matriz que representa essa transformação em alguma base de . A parte (b) do exercício nos diz que se for ímpar e o determinante de for negativo ( ), então deve ter pelo menos um autovalor negativo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Determinante: É um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que, entre outras coisas, nos dá informações sobre os autovalores da matriz.
  • Autovalores: São valores que indicam como a transformação linear estica ou comprime o espaço em determinadas direções.

Passo 2

Sabemos que o determinante de uma matriz quadrada det(A) = lambda1 times lambda2 times cdots times lambdan é igual ao produto de seus autovalores. Ou seja,
onde são os autovalores de .

Passo 3

Agora, como é ímpar e , o produto dos autovalores é negativo. Vamos pensar nisso:
  • Se fosse par, um produto negativo significaria que um número par de autovalores seriam negativos.
  • Mas como é ímpar, para o produto ser negativo, deve haver um número ímpar de autovalores negativos.

Passo 4

Em um número ímpar de autovalores negativos, pelo menos um deles deve ser negativo. Não importa quantos são, o fato é que um número ímpar garante que pelo menos um autovalor é negativo para que o produto final seja negativo.

Resposta

Portanto, se é ímpar e , então a transformação linear possui pelo menos um autovalor negativo.

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