Sejam , com , e , para alguma base de . Mostre que:
(b) Se é ímpar e , então possui pelo menos um autovalor negativo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão , e uma matriz que representa essa transformação em alguma base de . A parte (b) do exercício nos diz que se for ímpar e o determinante de for negativo ( ), então deve ter pelo menos um autovalor negativo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Determinante: É um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que, entre outras coisas, nos dá informações sobre os autovalores da matriz.
  • Autovalores: São valores que indicam como a transformação linear estica ou comprime o espaço em determinadas direções.

Passo 2

Sabemos que o determinante de uma matriz quadrada é igual ao produto de seus autovalores. Ou seja,
onde são os autovalores de .

Passo 3

Agora, como é ímpar e , o produto dos autovalores é negativo. Vamos pensar nisso:
  • Se fosse par, um produto negativo significaria que um número par de autovalores seriam negativos.
  • Mas como é ímpar, para o produto ser negativo, deve haver um número ímpar de autovalores negativos.

Passo 4

Em um número ímpar de autovalores negativos, pelo menos um deles deve ser negativo. Não importa quantos são, o fato é que um número ímpar garante que pelo menos um autovalor é negativo para que o produto final seja negativo.

Resposta

Portanto, se é ímpar e , então a transformação linear possui pelo menos um autovalor negativo.

Exercícios relacionados

Determine e , de modo que a matriz abaixo seja identidade.
Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear
Dados os vetores e , calcular:
Calcule .
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(k) .