Sejam
, com
, e
, para alguma base
de
. Mostre que:
(b) Se
é ímpar e
, então
possui pelo menos um autovalor negativo.
(b) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
em um espaço vetorial
de dimensão
, e uma matriz
que representa essa transformação em alguma base
de
. A parte (b) do exercício nos diz que se
for ímpar e o determinante de
for negativo (
), então
deve ter pelo menos um autovalor negativo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Determinante: É um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que, entre outras coisas, nos dá informações sobre os autovalores da matriz.
- Autovalores: São valores que indicam como a transformação linear estica ou comprime o espaço em determinadas direções.
Passo 2
Sabemos que o determinante de uma matriz quadrada
é igual ao produto de seus autovalores. Ou seja,
onde
são os autovalores de
.
Passo 3
Agora, como
é ímpar e
, o produto dos autovalores é negativo. Vamos pensar nisso:
- Se
fosse par, um produto negativo significaria que um número par de autovalores seriam negativos. - Mas como
é ímpar, para o produto ser negativo, deve haver um número ímpar de autovalores negativos.
Passo 4
Em um número ímpar de autovalores negativos, pelo menos um deles deve ser negativo. Não importa quantos são, o fato é que um número ímpar garante que pelo menos um autovalor é negativo para que o produto final seja negativo.
Resposta
Portanto, se
é ímpar e
, então a transformação linear
possui pelo menos um autovalor negativo.