Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de T em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(e) T(x, y)=(2 x+y,-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Se tiverem autovalores, também vamos determinar os autoespaços generalizados. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear x y por uma matriz. A transformação A = 2 & 1 0 & -1 pode ser escrita na forma matricial . Observando os coeficientes, a matriz de é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = 2 - lambda & 1 0 & -1 - lambda
Onde é o autovalor e é a matriz identidade. Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-1 - lambda) - (0)(1) = (2 - lambda)(-1 - lambda)
Expandindo o produto:
(2 - lambda)(-1 - lambda) = -2 - 2lambda + lambda + lambda^2 = lambda^2 - lambda - 2
Então, a equação característica fica:
lambda^2 - lambda - 2 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1 = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Onde lambda1 = 1 + 32 = 2 e lambda2 = 1 - 32 = -1 , e . Substituindo:
Portanto, os autovalores são:

Passo 6

Agora que temos os autovalores A - 2I = 0 & 1 0 & -3 e 0 cdot x + 1 cdot y = 0 0 cdot x - 3 cdot y = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada x 0 , resolvemos v1 = 1 0 .
Para A + I = 3 & 1 0 & 0 :
3x + y = 0 0 = 0
Isso nos dá o sistema:
x -3x
Da primeira equação, v2 = 1 -3 . pode ser qualquer valor. Então, o autovetor correspondente é da forma , onde . Normalizamos escolhendo :
Para :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Então, o autovetor é da forma , onde . Normalizamos escolhendo :

Passo 7

Por fim, vamos determinar os autoespaços generalizados, que, no caso de matrizes diagonais ou com autovalores distintos, são simplesmente os autoespaços associados a cada autovalor.
Para Autoespaço = k 1 0 : k in R :
Autoespaço = k 1 -3 : k in R ç
Para :
ç

Resposta

Os autovalores de 1 0 são 1 -3 com autovetor e com autovetor . Os autoespaços generalizados são os conjuntos formados por todos os múltiplos escalares desses autovetores.

Exercícios relacionados