Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Se tiverem autovalores, também vamos determinar os autoespaços generalizados. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. A transformação pode ser escrita na forma matricial . Observando os coeficientes, a matriz de é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
Onde é o autovalor e é a matriz identidade. Vamos calcular :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo o produto:
Então, a equação característica fica:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .
Para :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . pode ser qualquer valor. Então, o autovetor correspondente é da forma , onde . Normalizamos escolhendo :
Para :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Então, o autovetor é da forma , onde . Normalizamos escolhendo :
Passo 7
Por fim, vamos determinar os autoespaços generalizados, que, no caso de matrizes diagonais ou com autovalores distintos, são simplesmente os autoespaços associados a cada autovalor.
Para :
Para :
Resposta
Os autovalores de são com autovetor e com autovetor . Os autoespaços generalizados são os conjuntos formados por todos os múltiplos escalares desses autovetores.