Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
definida por
. Se tiverem autovalores, também vamos determinar os autoespaços generalizados. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
por uma matriz. A transformação
pode ser escrita na forma matricial
. Observando os coeficientes, a matriz de
é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é o autovalor e
é a matriz identidade. Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo o produto:
Então, a equação característica fica:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
.
pode ser qualquer valor. Então, o autovetor correspondente é da forma
, onde
. Normalizamos escolhendo
:
Para
:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
. Então, o autovetor é da forma
, onde
. Normalizamos escolhendo
:
Passo 7
Por fim, vamos determinar os autoespaços generalizados, que, no caso de matrizes diagonais ou com autovalores distintos, são simplesmente os autoespaços associados a cada autovalor.
Para
:
Para
:
Resposta
Os autovalores de
são
com autovetor
e
com autovetor
. Os autoespaços generalizados são os conjuntos formados por todos os múltiplos escalares desses autovetores.