Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de matrizes e autovalores. Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico da matriz e depois descobrir os autovalores dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é a matriz dada, é a matriz identidade do mesmo tamanho, e representa um autovalor. Então, nosso primeiro passo é montar a matriz .

Passo 3

A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Multiplicando por , temos:
Agora, subtraímos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
Usaremos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores para calcular esse determinante.

Passo 5

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
Note que o último termo será zero, então podemos ignorá-lo.

Passo 6

Calculando os determinantes menores:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do determinante:
Vamos expandir:

Passo 8

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Então, o polinômio característico é:

Passo 9

Para facilitar, podemos multiplicar todo o polinômio por -1:
Agora, vamos encontrar os autovalores, que são as raízes desse polinômio.

Passo 10

Procure valores de que satisfaçam . Testando :
Então, é uma raiz. Agora, faremos a divisão polinomial para fatorar:
Resolvendo , temos:
Portanto, e .

Resposta

O polinômio característico da matriz é e seus autovalores são , e .

Exercícios relacionados

Exercícios

1
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(a) .
Sejam as matrizes , em que , e em que . Determine:
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(e) .
Dados os pontos e e o vetor , calcular:
a)