Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de matrizes e autovalores. Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico da matriz e depois descobrir os autovalores dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e equações polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é a matriz dada, é a matriz identidade do mesmo tamanho, e representa um autovalor. Então, nosso primeiro passo é montar a matriz .
Passo 3
A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Multiplicando por , temos:
Agora, subtraímos de :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
Usaremos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores para calcular esse determinante.
Passo 5
Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
Note que o último termo será zero, então podemos ignorá-lo.
Passo 6
Calculando os determinantes menores:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Vamos expandir:
Passo 8
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Então, o polinômio característico é:
Passo 9
Para facilitar, podemos multiplicar todo o polinômio por -1:
Agora, vamos encontrar os autovalores, que são as raízes desse polinômio.
Passo 10
Procure valores de que satisfaçam . Testando :
Então, é uma raiz. Agora, faremos a divisão polinomial para fatorar:
Resolvendo , temos:
Portanto, e .
Resposta
O polinômio característico da matriz é e seus autovalores são , e .