Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear: A=[ccc1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de matrizes e autovalores. Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico da matriz e depois descobrir os autovalores dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é a matriz dada, é a matriz identidade do mesmo tamanho, e representa um autovalor. Então, nosso primeiro passo é montar a matriz .

Passo 3

A matriz identidade I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 para uma matriz 3x3 é:
lambda I = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda
Multiplicando A - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda por , temos:
Agora, subtraímos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = 1 - lambda & -1 & 0 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda para encontrar o polinômio característico:
Usaremos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores para calcular esse determinante.

Passo 5

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 3 - lambda & 2 1 & 2 - lambda - (-1) cdot det 2 & 2 1 & 2 - lambda + 0 cdot det 2 & 3 - lambda 1 & 1
Note que o último termo será zero, então podemos ignorá-lo.

Passo 6

Calculando os determinantes menores:
det 3 - lambda & 2 1 & 2 - lambda = (3 - lambda)(2 - lambda) - (2)(1) = (3 cdot 2 - 3lambda - 2lambda + lambda^2) - 2 = 6 - 5lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4
det 2 & 2 1 & 2 - lambda = (2)(2 - lambda) - (2)(1) = 4 - 2lambda - 2 = 2 - 2lambda

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + (1)(2 - 2lambda)
Vamos expandir:
= (1)(lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda(lambda^2 - 5lambda + 4) + 2 - 2lambda
= lambda^2 - 5lambda + 4 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda + 2 - 2lambda

Passo 8

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
- lambda^3 + (1lambda^2 + 5lambda^2) + (-5lambda - 4lambda - 2lambda) + (4 + 2)
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6

Passo 9

Para facilitar, podemos multiplicar todo o polinômio por -1:
p(lambda) = lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6
Agora, vamos encontrar os autovalores, que são as raízes desse polinômio.

Passo 10

Procure valores de 1 - 6 + 11 - 6 = 0 que satisfaçam (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0 . Testando lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12 :
Então, é uma raiz. Agora, faremos a divisão polinomial para fatorar:
Resolvendo , temos:
Portanto, e .

Resposta

O polinômio característico da matriz é e seus autovalores são , e .

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