Determine, se existirem,os extremos de f(x, y).
(a) f(x, y) = 2x^2 + y^2 - 8x - 2y + 14.
(b) f(x, y) = 1/x - 64/y + x*y.
© f(x, y) = e^(x y).
(d) f(x, y) = x * y + e^(-x * y).
(e) f(x, y) = e^x * cos(y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa encontrar os extremos da função . Isso significa que queremos descobrir se essa função tem pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
Essas derivadas nos ajudam a encontrar os pontos críticos da função, onde os extremos podem estar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero.
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para saber se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto .

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