Determine, se existirem,os extremos de
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa encontrar os extremos da função
. Isso significa que queremos descobrir se essa função tem pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Essas derivadas nos ajudam a encontrar os pontos críticos da função, onde os extremos podem estar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero.
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para saber se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
.
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Determine as retas tangente e normal à curva
que sejam perpendiculares à reta
.
Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor mínimo relativo de
se
com as restrições
e
.
Um homem de
de altura se afasta de um farol, que tem
de altura em relação ao solo, com uma velocidade de
. Quando o homem estiver a 6 m do farol, determine a velocidade de crescimento de sua sombra e o comprimento da mesma.