Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado: y = (e^x - e^(-x)) / 2, (-infinito, +infinito)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir se ela tem valores máximos e mínimos no intervalo de a . Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente o estudo de derivadas, que nos ajuda a encontrar pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
Então, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Sabemos que e são sempre positivos para qualquer valor de , porque a exponencial nunca é zero ou negativa. Então, a soma deles nunca será zero.

Passo 4

Como a derivada é sempre positiva, isso significa que a função está sempre crescendo no intervalo dado de a . Não há pontos onde a função cesse de crescer ou mude de direção, ou seja, não há máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Além disso, vamos analisar o comportamento da função nos extremos do intervalo:
  • Quando tende para :
  • Quando tende para :
Isso confirma que a função cresce indefinidamente sem atingir um valor máximo ou mínimo.

Resposta

A função não possui valores máximos nem mínimos no intervalo .

Exercícios relacionados