Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir se ela tem valores máximos e mínimos no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente o estudo de derivadas, que nos ajuda a encontrar pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
Então, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Sabemos que
e
são sempre positivos para qualquer valor de
, porque a exponencial nunca é zero ou negativa. Então, a soma deles nunca será zero.
Passo 4
Como a derivada
é sempre positiva, isso significa que a função
está sempre crescendo no intervalo dado de
a
. Não há pontos onde a função cesse de crescer ou mude de direção, ou seja, não há máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Além disso, vamos analisar o comportamento da função nos extremos do intervalo:
-
Quando
tende para : -
Quando
tende para :
Isso confirma que a função cresce indefinidamente sem atingir um valor máximo ou mínimo.
Resposta
A função
não possui valores máximos nem mínimos no intervalo
.