Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado: y = x - 2 sen x, [-pi/2, pi/2],

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar esses pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, para onde ela está subindo ou descendo.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser onde a função atinge um máximo ou mínimo.
Igualamos a derivada a zero:
Resolvendo no intervalo :
Ambos os valores estão dentro do intervalo dado.

Passo 4

Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos avaliar a função nos pontos críticos que encontramos e também nas extremidades do intervalo.
Calculando em cada ponto:
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores obtidos:

Resposta

No intervalo , a função atinge:
  • Valor máximo de aproximadamente 0,68 em .
  • Valor mínimo de aproximadamente -0,68 em .

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