Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar esses pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, para onde ela está subindo ou descendo.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser onde a função atinge um máximo ou mínimo.
Igualamos a derivada a zero:
Resolvendo
no intervalo
:
Ambos os valores estão dentro do intervalo dado.
Passo 4
Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos avaliar a função
nos pontos críticos que encontramos e também nas extremidades do intervalo.
Calculando
em cada ponto:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge:
- Valor máximo de aproximadamente 0,68 em
. - Valor mínimo de aproximadamente -0,68 em
.